数学常用公式定理1数学常用公式定理2数学常用公式定理3数学常用公式定理4数学常用公式定理5向量的内积、长度及正交性
内积
设$n$维向量
$ $ \begin{align*} \alpha = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} ， \beta = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} \end{align*} $ $
令
$ $ \begin{align*} [\alpha,\beta]=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n \end{align*} $ $
称$[\alpha,\beta]$为向量$\alpha$与$\beta$的内积
内积具有下列性质（其中$\alpha$、$\beta$、$\gamma$为$n$维向量，$k$为实数）
- $[\alpha,\beta]=[\beta,\alpha]$
- $[k\alpha,\beta]=[\alpha,k\beta]=k[\alpha,\beta]$
- $[\alpha,\beta+\gamma]=[\alpha,\beta]+[\alpha,\gamma]$
- 当$\alpha=0$时，$[\alpha,\alpha]=0$；当$\alpha \ne 0$时，$[\alpha,\alpha]\gt 0$
长度（模）
设$\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)^T$，令
$ $ \begin{align*} \left \| \alpha \right \| = \sqrt[]{[\alpha ,\alpha ]} =\sqrt[]{\alpha _1^2+\alpha _2^2+\cdots+\alpha _n^2} \end{align*} $ $
称$\left \| \alpha \right \|$为向量$\alpha$的长度、模或范数
向量的长度有下列性质（其中$\alpha$为$n$维向量，$k$为实数）
- 非负性 当$\alpha \ne 0$时，$\left \| \alpha \right \| \gt 0$；当$\alpha = 0$时，$\left \| \alpha \right \| = 0$
- 齐次性 $\left \| k\alpha \right \|=|k|\left \| \alpha \right \|$
当$\left \| e \right \|=1$时，称$e$为单位向量。如果$\alpha \ne 0$，取$e=\frac {\alpha}{\left \| \alpha \right \|}$，则$e$是一个单位向量，由向量$\alpha$得到向量$e$的过程称为把向量$\alpha$单位化
正交
当$[\alpha,\beta]=0$时，称向量$\alpha$与$\beta$正交；若$\alpha=0$，则$\alpha$与任何向量正交
一组两两正交的非零向量组，称为正交向量组
若$n$维向量$a_1,a_2,\cdots,a_r$是一组两两正交的非零向量，则$a_1,a_2,\cdots,a_r$线性无关
标准正交基
设$n$维向量$e_1,e_2,\cdots,e_r$是向量空间$V$（$V \subseteq R^n$）的一个基，如果$e_1,e_2,\cdots,e_r$两两正交，且都是单位向量，则称$e_1,e_2,\cdots,e_r$是$V$的一个标准正交基
标准正交基中的每个向量都是单位向量
例，$R^3$的标准正交基： $ $ \begin{align*} e_1=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt[]{2} } \\ \frac{1}{\sqrt[]{2} } \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}， e_2=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt[]{2} } \\ -\frac{1}{\sqrt[]{2} } \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}， e_3=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt[]{2} } \\ \frac{1}{\sqrt[]{2} } \end{pmatrix} \end{align*} $ $
标准正交化
设$a_1,a_2,\cdots,a_r$是向量空间$V$的一个基，要求$V$的一个标准正交基，也就是要找一组两两正交的单位向量$e_1,e_2,\cdots,e_r$，使$e_1,e_2,\cdots,e_r$与$a_1,a_2,\cdots,a_r$等价，称为把基$a_1,a_2,\cdots,a_r$标准正交化
施密特正交化
标准正交化第一步，从线性无关组$a_1,a_2,\cdots,a_r$导出正交向量组$b_1,b_2,\cdots,b_r$的过程称为施密特正交化，对任何$k$（$1 \ge k \ge r$），向量组$b_1,b_2,\cdots,b_r$与$a_1,a_2,\cdots,a_r$等价
$ $ \begin{align*} &b_1=a_1\\ &b_2=a_2-\frac{[a_2,b_1]}{[b_1,b_1]}b_1 \\ &b_3=a_3-\frac{[a_3,b_1]}{[b_1,b_1]}b_1 - \frac{[a_3,b_2]}{[b_2,b_2]}b_2 \\ &\cdots \\ &b_r=a_r-\frac{[a_r,b_1]}{[b_1,b_1]}b_1 -\frac{[a_r,b_2]}{[b_2,b_2]}b_2 -\cdots -\frac{[a_r,b_{r-1}]}{[b_{r-1},b_{r-1}]}b_{r-1} \end{align*} $ $
单位化
标准正交化第二步，把等价矩阵$b_1,b_2,\cdots,b_r$单位化
$ $ \begin{align*} e_1=\frac{1}{\left \| b_1 \right \|}b_1,e_2=\frac{1}{\left \| b_2 \right \|}b_2 ,\cdots,e_r=\frac{1}{\left \| b_r \right \|}b_r \end{align*} $ $
$e_1,e_2,\cdots,e_r$就是$V$的一个标准正交基
坐标计算公式
若$e_1,e_2,\cdots,e_r$$V$的一个标准正交基，那么$V$中任一向量$a$能由$e_1,e_2,\cdots,e_r$线性表示，设表示式为$a=k_1e_1+k_2e_2+\cdots+k_re_r$，向量在标准正交基中的坐标$k_i$（$i=i,2,\cdots,r$），计算公式为$k_i=e_i^Ta=[a,e_i]$
正交矩阵
如果$n$阶矩阵$A$满足$A^TA=E$（即$A^{-1}=A^T$），那么称$A$为正交矩阵，简称正交阵
方阵$A$为正交矩阵的充分必要条件是$A$的列向量（或行向量）都是单位向量，且两两正交
$ $ \begin{align*} &对于A^TA=E\Rightarrow \begin{pmatrix} a_1^T \\ a_2^T \\ \vdots \\ a_n^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1,a_2,\cdots,a_n \end{pmatrix}=E \\ &有a_i^Ta_j \left\{ \begin {matrix} 1，当i=j时\\ 0，当i\ne j时 \end {matrix} \right. \space (i,j=1,2,\cdots,n) \end{align*} $ $
正交矩阵有下述性质
- 若$A$为正交矩阵，则$A^{-1}=A^T$也是正交矩阵，且$|A| = 1$或$-1$
- 若$A$和$B$都是正交矩阵，则$AB$也是正交矩阵
正交变换定义
若$P$为正交矩阵，则线性变换$x=Py$称为正交变换
设$x=Py$为正交变换，则有 $ $ \begin{align*} \left \| x \right \| = \sqrt[]{x^Tx}=\sqrt[]{y^TP^TPy} = \sqrt[]{y^Ty}= \left \| y \right \| \end{align*} $ $
正交变换例： $ $ \begin{align*} &有二次型f(y_1,y_2)=4y_1^2+4y_2^2+2y_1y_2，\\ &f(y_1,y_2)对应矩阵为y^TAy=(y_1,y_2)\begin{pmatrix} 4 & 1\\ 1 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}，\\ &则存在正交矩阵P=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt[]{2}} & \frac{1}{\sqrt[]{2}}\\ \frac{1}{\sqrt[]{2}} & -\frac{1}{\sqrt[]{2}} \end{pmatrix}，\\ &使得P^{-1}AP=P^TAP=\begin{pmatrix} 5 & 0\\ 0 & 3 \end{pmatrix}，\\ &于是有线性变换y=Px \Longrightarrow \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt[]{2}} & \frac{1}{\sqrt[]{2}}\\ \frac{1}{\sqrt[]{2}} & -\frac{1}{\sqrt[]{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}，\\ &y=Px对应的线性方程组为\begin{cases} y_1=\frac{1}{\sqrt[]{2}}x_1+\frac{1}{\sqrt[]{2}}x_2\\ y_2=\frac{1}{\sqrt[]{2}}x_1-\frac{1}{\sqrt[]{2}}x_2 \end{cases}，\\ &经y=Px{\color{Red} 正交变换}后，二次型f(y_1,y_2)=5x_1^2+3x_2^2 \end{align*} $ $
方阵的特征值与向量值
基本定义
设$A$是$n$阶矩阵，如果数$\lambda$和$n$维非零列向量$x$使$Ax=\lambda x$成立，那么称$\lambda$为矩阵$A$的特征值，非零列向量$x$称为$A$的对应与特征值$\lambda$的特征向量
$Ax=\lambda x$可写成$(A - \lambda E)x=0$，将该式视为$n$个未知数$n$个方程的齐次线性方程组，已知该方程组有非零解，即$x$不为零向量，则它的系数行列式$|A - \lambda E| = 0$
$ $ \begin{align} \label {eq1} |A-\lambda E|=0 \Longrightarrow \begin{vmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22}-\lambda & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}-\lambda \end{vmatrix}=0 \end{align} $ $
$\eqref {eq1}$行列式是以$\lambda$为未知数的一元$n$次方程，称为矩阵$A$的特征方程，左端$|A-\lambda E|$是$\lambda$的$n$次多项式，记作$f(\lambda)$，称为矩阵$A$的特征多项式，$A$的特征值就是方程的解
特征值的性质
设$n$阶矩阵$A=\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nn}
\end{pmatrix}$的特征值为$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$，可知
- $\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}$
- $\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n=|A|$
$\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n$称为矩阵$A$的迹，记作$tr(A)$
设$Ax=\lambda x$成立，$\lambda$是方阵$A$的特征值，则$\lambda$符合如下性质
- $k\lambda$是$kA$的特征值，即$kAx=k\lambda x$
$Ax=\lambda x \Rightarrow kAx=k\lambda x$ - $\lambda^k$是$A^k$的特征值，即$A^kx=\lambda^k x$
$Ax=\lambda x \Rightarrow A(Ax)=\lambda(\lambda x) \Rightarrow A(A^{k-1}x)=\lambda(\lambda^{k-1}x) \Rightarrow A^kx=\lambda^kx$ - $f(\lambda)$是$f(A)$的特征值，即$f(A)x=f(\lambda) x$，其中$f(A)=a_0E+a_2A+\cdots+a_mA^m$是矩阵$A$的多项式，$f(\lambda)=a_0+a_1\lambda+\cdots+a_m\lambda^m$是$\lambda$的多项式
$ \begin{array}{l} \because kAx=k\lambda x\\ \therefore a_mAx=a_m\lambda x\\ 又\because A^kx=\lambda ^kx\\ \therefore A^mx=\lambda ^mx\\ 即，a_mA^mx=a_m\lambda ^mx\\ 于是有:f(A)x=f(\lambda )x \end{array} $ - $\frac {1}{\lambda}$（$\lambda \ne 0$）是$A^{-1}$的特征值，即$A^{-1}x=\frac {1}{\lambda} x$
$Ax=\lambda x \Rightarrow x=\lambda A^{-1}x \Rightarrow \frac {1}{\lambda}x=A^{-1}x$ - $\frac {|A|}{\lambda}$是$A^{*}$的特征值，即$A^{*}x= \frac {|A|}{\lambda} x$
$Ax=\lambda x \Rightarrow x=\lambda A^{-1}x \Rightarrow x=\lambda \frac {1}{|A|}A^{*}x \Rightarrow \frac {|A|}{\lambda}x=A^{*}x$
作为结论，$A^{*}x= \frac {|A|}{\lambda} x$可以用在不可逆的矩阵$A$上。此外，当$\lambda = 0$时，虽然不能作为分母，但可以通过如下手段解决：由于$|A|=\lambda_1\lambda_2\lambda_3$，则$\frac {|A|}{\lambda_1} = \frac{\lambda_1\lambda_2\lambda_3}{\lambda_1} = \lambda_2\lambda_3$
特征向量的性质
- 若$x$是矩阵$A$对应于特征值$\lambda$的特征向量，则$kx$（$k \ne 0$）也是对应于$\lambda$的特征向量
- 若$x_1$、$x_2$都是矩阵$A$对应于特征值$\lambda$的特征向量，则$k_1x_1+k_2x_2$（$k_1$、$k_2$不全为零）也是对应于$\lambda$的特征向量
定理
设$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m$是方阵$A$的$m$个特征值，$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_m$依次是与之对应的特征向量，如果$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m$各不相等，则$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_m$线性无关
定理推论
设$\lambda_1$和$\lambda_2$是方阵$A$的两个不同特征值，$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_s$和$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_t$分别是对应于$\lambda_1$和$\lambda_2$的线性无关的特征向量，则$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_s,\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_t$线性无关
相似矩阵
矩阵的相似
设$A$、$B$都是$n$阶矩阵，若有可逆矩阵$P$，使$P^{-1}AP=B$，则称$B$是$A$的相似矩阵，或者说矩阵$A$与$B$相似，对$A$进行运算$P^{-1}AP$称为对$A$进行相似变换，可逆矩阵$P$称为把$A$变成$B$的相似变换矩阵
相似矩阵必等价，等价矩阵不一定相似
定理1
若$n$阶矩阵$A$与$B$相似，则$A$与$B$的特征多项式相同，从而$A$与$B$的特征值亦相同
$ $ \begin{align*} {\color{Red} |B-\lambda E| = |P^{-1}AP-\lambda E| = |P^{-1}AP-\lambda P^{-1}EP|=|P^{-1}||A-\lambda E||P|=|A-\lambda E|} \end{align*} $ $
若$n$阶矩阵$A$与$B$相似，根据定理1可知：
- $|A| = |B|$
由特征值的性质$\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n= |A| = |B|$ - $tr(A)=tr(B)$
$tr(A)=tr(B)=\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n$ - $R(A)=R(B)$
- $A$、$B$的各阶主子式分别相等
- $\lambda _A = \lambda _B$
若$A$、$B$矩阵特征值分别相等且无重根，则$A$、$B$必定相似
矩阵的相似对角化
定理1推论
若$n$阶矩阵$A$与对角矩阵$\Lambda$相似，则$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$是$A$的$n$个特征值，其中
$ $ \begin{align*} \Lambda=\begin{pmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{pmatrix} \end{align*} $ $
对$n$阶矩阵$A$，寻求相似变换矩阵$P$，使$P^{-1}AP=\Lambda$为对角矩阵，称为把矩阵$A$对角化
$ $ \begin{align} \label {eq2} \begin{array}{l} 假设有可逆矩阵P，使P^{-1}AP=\Lambda为对角矩阵\\ 令P用列向量表示为P=(p_1,p_2,\cdots,p_n)\\ \\ P^{-1}AP=\Lambda \Longrightarrow AP=P\Lambda \\ \\ 将P=(p_1,p_2,\cdots,p_n)代入得:\\ A(p_1,p_2,\cdots,p_n)=(p_1,p_2,\cdots,p_n)\begin{pmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{pmatrix}\\ \\ 矩阵对应相乘得:\\ (Ap_1,Ap_2,\cdots,Ap_n)=(\lambda_1p_1,\lambda_2p_2,\cdots,\lambda_np_n)\\ \\ 于是有:\\ Ap_i=\lambda_ip_i \space (i=1,2,\cdots,n) \end{array} \end{align} $ $
$\lambda_i$是$A$的特征值，$P$的列向量$p_i$就是$A$的对应于特征值$\lambda_i$的特征向量，$p_i$构成的矩阵$P$就是把$A$变成$\Lambda$的相似变换矩阵。综上所述，求得$\lambda_i$便可得到$p_i$，进而可求出$P=(p_i)$
例：设矩阵$A=\begin{pmatrix} -2 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 0\\ -4 & 1 & 3 \end{pmatrix}$，求$P$、$\Lambda$，使$P^{-1}AP=\Lambda$ $ $ \begin{array} {l} \because P^{-1}AP=\Lambda\Longrightarrow Ap_i=\lambda_ip_i (根据\eqref {eq2}中推导)\\ \therefore |A-\lambda E|=\begin{vmatrix} -2-\lambda & 1 & 1\\ 0 & 2-\lambda & 0\\ -4 & 1 & 3-\lambda \end{vmatrix}=0\\ 于是有-(2-\lambda )^2(\lambda + 1)=0\\ \therefore A的特征值为\lambda _1=\lambda _2=2,\lambda _3=-1\\ 当\lambda _1=\lambda _2=2时，A-2E=\begin{pmatrix} -4 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ -4 & 1 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} -4 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\ 有特征向量p_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}, p_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\\ 当\lambda _3=-1时，A+E=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1\\ 0 & 3 & 0\\ -4 & 1 & 4 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\ 有特征向量p_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \therefore P=(p_1,p_2,p_3)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 4 & 0 & 0\\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix}， P^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{4} & 0\\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{12} & \frac{1}{3} \\ \frac{4}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix}\\ 于是有:P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}=\Lambda \end{array} $ $
定理2
$n$阶矩阵$A$与对角矩阵相似（即$A$能对角化）的充分必要条件是$A$有$n$个线性无关的特征向量
如果$A$有$n$个不相等的特征值，则必有$n$个线性无关的特征向量
定理2推论
如果$n$阶矩阵$A$的$n$个特征值互不相等，则$A$与对角矩阵相似
当$A$的特征方程有重根，例如$\lambda_1=\lambda_2=1$时，由于二重特征值$1$未必有两个线性无关的特征向量，所以$A$就未必有$n$个线性无关的特征向量，从而未必能相似对角化。通过$n - R(A - \lambda_1E)$可得到二重特征值$\lambda_1$对应的线性无关特征向量的个数
相似矩阵的性质
若矩阵$A$、$B$相似，则符合以下结论
- $A^k$相似于$B^k$
由$P^{-1}AP=B,(P^{-1}AP)^k=B^k,P^{-1}A^kP=B^k$ - $A^{-1}$相似于$B^{-1}$
由$P^{-1}AP=B,(P^{-1}AP)^{-1}=B^{-1},P^{-1}A^{-1}P=B^{-1}$ - $f(A)$相似于$f(B)$
由1、2可得 - $A^{*}$相似于$B^{*}$
由$P^{-1}AP=B,(P^{-1}AP)^{*}=B^{*},P^{*}A^{*}(P^{*})^{-1}=B^{*},$
$\left|A\right|P^{-1}A^{*}\left|A\right|^{-1}P=B^{*},P^{-1}A^{*}P=B^{*}$ - $A^T$相似于$B^T$
由$P^{-1}AP=B,(P^{-1}AP)^T=B^T,P^TA^T(P^T)^{-1}=B^T$
实对称矩阵的对角化
性质1
对称矩阵的特征值为实数
性质2
设$\lambda_1$、$\lambda_2$是对称矩阵$A$的两个特征值，$p_1$、$p_2$是对应的特征向量，若$\lambda_1 \ne \lambda_2$，则$p_1$与$p_2$正交
定理3
设$A$为$n$阶对称矩阵，则必有正交矩阵$P$，使$P^{-1}AP=P^TAP=\Lambda$，其中$\Lambda$是以$A$的$n$个特征值为对角元的对角矩阵
定理3推论
设$A$为$n$阶对称矩阵，$\lambda$是$A$的特征方程的$k$重根，则矩阵$A-\lambda E$的秩$R(A-\lambda E)=n-k$，从而对应特征值$\lambda$恰有$k$个线性无关的特征向量
综上所述，将$A$对应于特征值$\lambda_i$的特征向量$p_i$进行标准正交化（即施密特正交化和单位化），由此得到一组两两正交的单位向量$e_i$，$e_i$构成的正交矩阵$P=(e_i)$就是把$A$变成$\Lambda$的相似变换矩阵
例：设实对称矩阵$A=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1\\ -1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$，求一个正交矩阵$P$，使$P^{-1}AP=\Lambda$为对角矩阵 $ $ \begin{array} {l} \because P^{-1}AP=\Lambda\Longrightarrow Ap_i=\lambda_ip_i (根据\eqref {eq2}中推导)\\ \therefore |A-\lambda E|=\begin{vmatrix} -\lambda & -1 & 1\\ -1 & -\lambda & 1\\ 1 & 1 & -\lambda \end{vmatrix}=0\\ 于是有(\lambda - 1)^2(\lambda + 2)=0\\ \therefore A的特征值为\lambda_1=\lambda_2=1,\lambda_3=-2\\ 当\lambda _1=\lambda _2=1时，A-E=\begin{pmatrix} -1 & -1 & 1\\ -1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\ 有特征向量p_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, p_2=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\\ 当\lambda _3=-2时，A+E=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\ -1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\ 有特征向量p_3=\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \because \lambda_1 \ne \lambda_2 \\ \therefore p_1,p_3正交，p_2,p_3正交，经验证p_1,p_2不可正交，需将p_1,p_2正交化\\ 取\eta_1=p_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \eta_2=p_2-\frac {[p_2,\eta_1]}{[\eta_1,\eta_1]}\eta_1=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +\frac {1}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} =\frac {1}{2}\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\\ 将\eta_1,\eta_2,p_3单位化，有e_1=\frac {1}{\sqrt[]{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, e_2=\frac {1}{\sqrt[]{6}}\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, e_3=\frac {1}{\sqrt[]{3}}\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\\ 于是有正交矩阵P=(e_1,e_2,e_3)=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt[]{2}} & -\frac{1}{\sqrt[]{6}} & -\frac{1}{\sqrt[]{3}}\\ 0 & \frac{2}{\sqrt[]{6}} & -\frac{1}{\sqrt[]{3}}\\ \frac{1}{\sqrt[]{2}} & \frac{1}{\sqrt[]{6}} & \frac{1}{\sqrt[]{3}} \end{pmatrix}\\ 使P^{-1}AP=P^{T}AP=\Lambda=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \end{array} $ $
谱分解定理
若$n$阶实对称矩阵$\boldsymbol{A}$的特征值为:$\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$，相应的特征向量为:$\boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}$(已正交化单位化)，则$A=\lambda_{1} a_{1} a_{1}^{\mathrm{T}}+\lambda_{1} a_{2} a_{2}^{\mathrm{T}}+\cdots+i_{n} \alpha_{n} a_{n}^{\mathrm{T}}$
二次型
二次型定义
含有$n$个变量$x_1,x_2,\cdots,x_n$的二次齐次函数$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$称为二次型 （注意$a_{ij}=a_{ji}$）
$ $ \begin{align*} f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=&a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+\cdots+a_{nn}x_n^2+\\ &2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+\cdots +2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n \end{align*} $ $
如果展开上式$\cdots$中的内容，然后移项，则可以看到 $ $ \begin{align*} f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=&a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+\cdots+2a_{1n}x_1x_n+\\ &a_{22}x_2^2+2a_{23}x_2x_3+\cdots+2a_{2n}x_2x_n+\\ &a_{33}x_1^2+2a_{34}x_1x_2+\cdots+2a_{3n}x_3x_n+\\ &\cdots+\\ &a_{n-1,n-1}x_{n-1}^2+2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n+\\ &a_{nn}x_n^2 \end{align*} $ $
因为$a_{ij}=a_{ji}$，所以$2a_{ij}x_ix_j=a_{ji}x_ijx_i+a_{ji}x_iy_i$，则原$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$可写成
$ $ \begin{align*} f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=&{\color{Red} a_{11}x_1^2} +a_{12}x_1x_2+\cdots+a_{1n}x_1x_n+\\ &a_{21}x_2x_1+{\color{Red} a_{22}x_2^2} +\cdots+a_{2n}x_2x_n+\\ &\cdots+\\ &a_{n1}x_{n}x_1+a_{n2}x_{n}x_2+\cdots+{\color{Red} a_{nn}x_n^{2}} \\ \\ =&\sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j \end{align*} $ $
例：二次型$f(x_1,x_2,x_3)$（注意 $a_{ij}=a_{ji}$） $ $ \begin{align*} f(x_1,x_2,x_3) =&a_{11}x_1^2+a_{12}x_1x_2+a_{13}x_1x_3+\\ &a_{21}x_2x_1+a_{22}x_2^2+a_{23}x_2x_3+\\ &a_{31}x_{3}x_1+a_{32}x_{3}x_2+a_{33}x_3^{2} \\ \\ =&a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+\\ &a_{22}x_2^2+2a_{23}x_2x_3+\\ &a_{33}x_3^{2} \\ \\ =&(x_1,x_2,x_3)\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \\ \\ =&x^T A x \end{align*} $ $
利用矩阵，$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$可表示为
$ $ \begin{align*} f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=&x_1(a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n)+\\ &x_2(a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n)+\\ &\cdots +\\ &x_n(a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n) \\ \\ =&(x_1,x_2,\cdots,x_n)\begin{pmatrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n\\ \vdots\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n \end{pmatrix} \\ \\ =&(x_1,x_2,\cdots,x_n)\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & a_{nn2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \end{align*} $ $
其中
$ $ \begin{align*} A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}，x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \end{align*} $ $
则$f$可记作$f=x^TAx$，对称矩阵$A$叫做二次型$f$的矩阵，$f$叫做对称矩阵$A$的二次型，对称矩阵$A$的秩叫做二次型$f$的秩
任给一个二次型，可唯一确定一个对称矩阵$A$，任给一个对称矩阵，也可唯一确定一个二次型
合同对角化
设$A$和$B$是$n$阶矩阵，若有可逆矩阵$C$，使$B=C^TAC$，则称矩阵$A$与$B$合同，记作$A\simeq B$。对于对称矩阵$A$，寻求可逆矩阵$C$，使$C^TAC=B$为对角矩阵，称为把矩阵$A$合同对角化
例： $ $ \begin{array}{l} 对于矩阵A= \begin{pmatrix} 4 & 1\\ 1 & 4 \end{pmatrix}，\\ 存在可逆矩阵C= \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{4} \\ 0 & 1 \end{pmatrix}，\\ 使C^TAC成为对角矩阵\\ C^TAC=\begin{pmatrix} 4 & 0\\ 0 & \frac{15}{4} \end{pmatrix}\\ 若令B=C^TAC，则A与B合同 \end{array} $ $
但其实合同对角化并不一定非要作用于对称矩阵上，只是研究的二次型的矩阵刚好是对称矩阵
合同矩阵符合如下性质
- 如果$A$与$B$合同，则$A\sim B$，$R(A)=R(B)$
- 如果$A$与$B$合同，$A$为对称矩阵，则$B$也为对称矩阵
- 任一实对称矩阵必合同于一对角矩阵
实对称矩阵必可相似对角化与合同对角化，由于二次型的矩阵皆为实对称矩阵，所以可以使用计算实对称矩阵相似对角化的方式来计算合同对角化 $ $ \begin{array} {l} 设A为n阶对称矩阵\\ 则必有正交矩阵P，\\ 使:P^{-1}AP=P^TAP=\Lambda\\ 其中\Lambda 是以A的n个特征值为对角元的对角矩阵 \end{array} $ $
二次型的标准形
有可逆的线性变换
$ $ \begin{cases} x_1= c_{11}y_1+c_{12}y_2+\cdots+c_{1n}y_n\\ x_2= c_{21}y_1+c_{22}y_2+\cdots+c_{2n}y_n\\ \cdots \\ x_n= c_{n1}y_1+c_{n2}y_2+\cdots+c_{nn}y_n \end{cases} $ $
将其带入到二次型$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$中，使$f=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2$，这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准形，该可逆线性变换可记作$x=Cy$
因为 $ $ \begin{gather*} x=Cy \\ \Downarrow \\ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n}\\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ c_{n1} & c_{nn2} & \cdots & c_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} \\ \Downarrow \\ \begin{cases} x_1= c_{11}y_1+c_{12}y_2+\cdots+c_{1n}y_n\\ x_2= c_{21}y_1+c_{22}y_2+\cdots+c_{2n}y_n\\ \cdots \\ x_n= c_{n1}y_1+c_{n2}y_2+\cdots+c_{nn}y_n \end{cases} \end{gather*} $ $
正交变换化二次型成标准形
存在定理
任给二次型$f=x^TAx$，总有正交变换$x=Cy$，使$f$化为标准形
$ $ \begin{align*} f = \lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2 \end{align*} $ $
其中$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$是$f$的矩阵$A=(a_{ij})$的特征值
将正交变换$x=Cy$代入二次型矩阵$f=x^TAx$中，有
$ $ \begin{align*} f=x^TAx=(Cy)^TA(Cy)=y^T(C^TAC)y \end{align*} $ $
对于对称矩阵$A$，寻求可逆矩阵$C$，使$C^TAC$成为对角矩阵的过程，称为把对称矩阵$A$合同对角化
$ $ \begin{align*} f(x_1,x_2,\cdots,x_n) = & x^TAx \\ = & (Cy)^TA(Cy) \\ = & y^T(C^TAC)y \\ = & (y_1,y_2,\cdots,y_n) \begin{pmatrix} \lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} \\ = & \lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2 \\ = & f(y_1,y_2,\cdots,y_n) \end{align*} $ $
例：化二次型$f(x_1,x_2)=4x_1^2+4x_2^2+2x_1x_2$为标准形 $ $ \begin{array}{l} 由题意，二次型f的矩阵为A= \begin{pmatrix} 4 & 1\\ 1 & 4 \end{pmatrix}\\ \therefore |A - \lambda E|= \begin{vmatrix} 4-\lambda & 1\\ 1 & 4-\lambda \end{vmatrix}=0\\ 于是有(4-\lambda)^2-1=0\\ \therefore A的特征值为\lambda _1=5,\lambda _2=3\\ 当\lambda _1=5时，A-5E= \begin{pmatrix} -1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\\ 有特征向量\xi_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\\ 当\lambda _2=3时，A-3E= \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\\ 有特征向量\xi_2=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\\ \because \lambda_1 \ne \lambda_2\\ \therefore \xi_1与\xi_2正交\\ 将\xi_1,\xi_2单位化，e_1=\frac{1}{\sqrt[]{2} }\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} ,e_2=\frac{1}{\sqrt[]{2} }\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \\ 令P=(e_1,e_2)=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt[]{2}} & \frac{1}{\sqrt[]{2}}\\ \frac{1}{\sqrt[]{2}} & -\frac{1}{\sqrt[]{2}} \end{pmatrix}\\ 则P为正交矩阵，且P^TAP=\Lambda=\begin{pmatrix} 5 & 0\\ 0 & 3 \end{pmatrix}\\ 于是有正交变换\begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt[]{2}} & \frac{1}{\sqrt[]{2}}\\ \frac{1}{\sqrt[]{2}} & -\frac{1}{\sqrt[]{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1\\ y_2 \end{pmatrix}\\ 把二次型转换成标准形f=5y_1^2+3y_2^2 \end{array} $ $
配方法化二次型为成标准形
例1：化二次型$f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+4x_1x_2-4x_1x_3-8x_2x_3$为标准形 $ $ \begin{array}{l} \begin{align*} 原式= & \underline{2(x_1^2+2x_1x_2-2x_1x_3)} +5x_2^2+5x_3^2-8x_2x_3\\ & {\color{Red} 把所有含x_1的项合并、配方} \\ =& 2(x_1+x_2-x_3)^2+3x_2^2+3x_3^2-4x_2x_3\\ =& 2(x_1+x_2-x_3)^2+\underline{3(x_2^2-\frac{4}{3}x_2x_3)} +3x_3^2\\ & {\color{Red} 把所有含x_2的项合并、配方}\\ =& 2(x_1+x_2-x_3)^2+3(x_2-\frac{2}{3}x_3)^2+\frac{5}{3}x_3^2 \end{align*}\\ 令\begin{cases} y_1= x_1+x_2-x_3\\ y_2= x_2-\frac{2}{3}x_3\\ y_3= x_3 \end{cases}，即 \begin{cases} x_1= y_1-y_2+\frac{1}{3}y_3\\ x_2= y_2+\frac{2}{3}y_3\\ x_3= y_3 \end{cases}\\ 于是有可逆矩阵C=\begin{pmatrix} 1 & -1 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}，使x=Cy成立\\ 即，f(x_1,x_2,x_3)经x=Cy后，f=2y_1^2+3y_2^2+\frac{5}{3}y_3^2 \end{array} $ $
例2：$f(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3$ $ $ \begin{array}{l} 令\begin{cases} x_1= y_1+y_2\\ x_2= y_1-y_2\\ x_3= y_3 \end{cases}，代入可得\underline{f=y_1^2-y_2^2+2y_1y_3} \\ {\color{Red} f中不含平方项，先构造平方项} \\ 原式=(y_1+y_3)^2-y_2^2-y_3^2\\ 令\begin{cases} z_1=y_1+y_3 \\ z_2=y_2 \\ z_3=y_3 \end{cases}，即\begin{cases} y_1=z_1-z_3 \\ y_2=z_2 \\ y_3=z_3 \end{cases}， 代入得\begin{cases} x_1=z_1+z_2-z_3 \\ x_2=z_1-z_2-z_3 \\ x_3=z_3 \end{cases}\\ 于是有可逆矩阵\underline{C=C_1C_2}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\ 1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ，使\underline{x=Cz} 成立\\ {\color{Red} x=C_1y，y=C_2z，\therefore x=C_1C_2z=Cz} \\ {\color{Red} C=C_1C_2=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\ 1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}} \\ 即，f(x_1,x_2,x_3)经x=Cz后，f=z_1^2-z_2^2-z_3^2 \end{array} $ $
二次型的规范形
如果标准形$f=k_1y_1^2+k_2y_2^2+\cdots+k_ny_n^2$的系数$k_1,k_2,\cdots,k_n$只在$1,-1,0$三个数中取值，则成为二次型的规范形
推论
任给$n$元二次型$f=x^TAx$（$A^T=A$），总有可逆变换$x=Cz$，使$f(Cz)$为规范形
例：化二次型的标准形$f(y_1,y_1,y_3)=-2y_1^2+y_2^2+y_3^2$为规范形 $ $ \begin{array}{l} 令\begin{cases} y_1=\frac{1}{\sqrt[]{2}}z_1\\ y_2=z_2\\ y_3=z_3 \end{cases}，于是有可逆矩阵C=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt[]{2}} & & \\ & 1 & \\ & & 1 \end{pmatrix}使y=Cz成立\\ 即f(y_1,y_1,y_3)经y=Cz后，f=-z_1+z_2+z_3\\ {\color{Red} 其实还是可逆的线性变换} \end{array} $ $
正定二次型
设二次型$f=x^TAx$，如果对任何$x \ne 0$，都有$f \gt 0$，则称$f$为正定二次型，并称对称矩阵$A$是正定的；如果对任何$x\ne 0$都有$f \lt 0$，则称$f$为负定二次型，并称矩阵$A$是负定的
惯性定理
设二次型$f=x^TAx$的秩为$r$，且有可逆变换$x=Cy$使
$ $ \begin{align*} f=\lambda_1z_1^2+\lambda_2z_2^2+\cdots+\lambda_rz_r^2 （\lambda_i \ne 0） \end{align*} $ $
则$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_r$中正数的个数称为二次型的正惯性指数，负数的个数称为二次型的负惯性指数
二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数
若二次型$f$的正惯性指数为$p$，秩为$r$，则$f$的规范形便可确定为
$ $ \begin{gather*} f=y_1^2+\cdots+y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots-y_r^2\\ {\color{Red} p个正系数，r-p个负系数} \end{gather*} $ $
正定二次型性质
$n$元二次型$f=x^TAx$为正定的充分必要条件
- 由正定二次型定义，对任意的$x \ne 0$，有$x^TAx \gt 0$
- $f$的标准形的$n$个系数全为正，即$f$的正惯性指数$p=n$
- 存在可逆矩阵$D$，使$A=D^TD$
- $A\simeq E$
- $A$的特征值$\lambda_i \gt 0$（$i=1,2, \cdots ,n$）
- $A$的全部顺序主子式均大于0，即
$ $ \begin{align*} a_{11} \gt 0,\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} \gt 0,\cdots,\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \gt 0 \end{align*} $ $
$f=x^TAx$为负定的充分必要条件是：$A$的奇数阶顺序主子式为负，偶数阶顺序主子式为正，即 $ $ \begin{align*} (-1)^r\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1r} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{r1} & \cdots & a_{rr} \end{vmatrix} \gt 0（r=1,2,\cdots,n） \end{align*} $ $
完结，人生建议，别学编程🙂数学常用公式定理1数学常用公式定理2数学常用公式定理3数学常用公式定理4数学常用公式定理5