数学常用公式定理5

发表于 2023-09-30 分类于学习笔记本文字数： 17k

矩阵初等变换、矩阵的秩、线性方程组的解、向量、向量空间

数学常用公式定理1数学常用公式定理2数学常用公式定理3数学常用公式定理4数学常用公式定理6

矩阵初等变换

初等变换

下面三种变换称为矩阵的初等行变换

对换两行（对换$i，j$两行，记作$r_i \longleftrightarrow r_j$）
以数$k \ne 0$乘某一行中的所有元（第$i$行乘$k$，记作$r_i \times k$）
把某一行所有元的$k$倍加到另一行对应的元上（第$j$行的$k$倍加到第$i$行上，记作$r_i+kr_j$）

上述“行”换做“列”，“r”换做“c”，即得到初等列变换，初等行变换和初等列变换统称为初等变换

等价矩阵

如果矩阵$A$经过有限次初等行变换变成矩阵$B$，就称矩阵$A$与$B$行等价，记作$A\underset{}{\overset{r}{\sim}}B$；如果矩阵$A$经过有限次初等列变换变成矩阵$B$，就称矩阵$A$与$B$列等价，记作$A\underset{}{\overset{c}{\sim}}B$；如果矩阵$A$经过有限次初等变换变成矩阵$B$，就称矩阵$A$与$B$等价，记作$A \sim B$

矩阵之间的等价关系具有下列性质：

反身性 $A \sim A$
对称性若$A \sim B$，则$B \sim A$
传递性若$A \sim B$，$B \sim C$，则$A \sim C$

初等变换运算

阶梯型、最简型、标准型

行阶梯型矩阵

非零矩阵若满足：

非零行在零行的上面，
非零行的首非零元所在列在上一行的首非零元所在列的右边，

则称此矩阵为行阶梯型矩阵。

在行列式$A$中每一行的第一个非零元称为首非零元

$ $ \begin{align*} A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{align*} $ $

行最简型矩阵

若$A$是阶梯型矩阵，并且满足：

非零行的首非零元为1，
首非零元所在的列的其它元均为0，

则称$A$为行最简型矩阵

$ $ \begin{align*} A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{align*} $ $

标准型矩阵

对最简型矩阵施以初等列变换可以得到标准型矩阵$F$，其左上角是一个单位矩阵，其余元全为0

$ $ \begin{align*} F= \begin{pmatrix} E_r & O\\ O & O \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{align*} $ $

对于$m \times n$矩阵$A$，总可经过初等变换（行变换和列变换）把它化为标准型$F=\begin{pmatrix} E_r & O\\ O & O \end{pmatrix}$，其中$r$是行阶梯矩阵中非零行的行数

初等矩阵

定义3
由单位矩阵$E$经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，三种初等变换对应有三种初等矩阵

两行对换

把单位矩阵中第$i$，$j$两行（或两列）对换，得初等矩阵$E(i,j)$

$ $ \begin{align*} &E(i,j)=\begin{pmatrix} {\color{Red}1} & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0\\ 0 & {\color{Red}0} & 0 & \cdots & 0 & {\color{Red}1} & 0\\ 0 & 0 & {\color{Red}1} & \cdots & 0 & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & {\color{Red}1} & 0 & 0\\ 0 & {\color{Red}1} & 0 & \cdots & 0 & {\color{Red}0} & 0\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & {\color{Red}1} \end{pmatrix} \\ &E_4(2,3)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align*} $ $

数乘某行

以数$k \ne 0$乘单位矩阵的第$i$行（或第$i$列），得初等矩阵$E\left(i\left(k\right)\right)$

$ $ \begin{align*} &E(i(k))= \begin{pmatrix} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & & & k & & & \\ & & & & 1 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1 \end{pmatrix} \\ &E_4(3(k))= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & k & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align*} $ $

数乘相加

以$k$乘单位矩阵的第$j$行加到第$i$行上（或以$k$乘单位矩阵的第$i$列加到第$j$列上），得到初等矩阵$E(ij(k))$

$ $ \begin{align*} &E(ij(k))= \begin{pmatrix} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & \cdots & k & & \\ & & & \ddots & \vdots & & \\ & & & & 1 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1 \end{pmatrix} \\ &E_4(23(k))= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & k & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align*} $ $

初等矩阵的逆阵：

$E(i,j)^{-1}=E(i,j)$
$E(i(k))^{-1}=E(i(\frac {1}{k}))$
$E(ij(k))^{-1}=E(ij(-k))$

初等矩阵的性质

性质1：设$A$是一个$m \times n$矩阵，对$A$实施一次初等行变换，相当于在$A$的左边乘相应的$m$阶初等矩阵；对$A$实施一次初等列变换，相当于在$A$的右边乘相应的$n$阶初等矩阵

例1：两行（两列）对换 $ $ \begin{align*} &A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{pmatrix} \\ &E_4(2,3)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &E_4(2,3)A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ {\color{Red} a_{31}} & {\color{Red} a_{32}} & {\color{Red} a_{33}} & {\color{Red} a_{34}}\\ {\color{Red} a_{21}} & {\color{Red} a_{22}} & {\color{Red} a_{23}} & {\color{Red} a_{24}}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{pmatrix} \\ &AE_4(2,3)= \begin{pmatrix} a_{11} & {\color{Red} a_{13}} & {\color{Red} a_{12}} & a_{14}\\ a_{21} & {\color{Red} a_{23}} & {\color{Red} a_{22}} & a_{24}\\ a_{31} & {\color{Red} a_{33}} & {\color{Red} a_{32}} & a_{34}\\ a_{41} & {\color{Red} a_{43}} & {\color{Red} a_{42}} & a_{44} \end{pmatrix} \end{align*} $ $

例2：数乘某行（列） $ $ \begin{align*} &A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \\ &E_3(2(k))= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & k & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &E_3(2(k))A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ {\color{Red} ka_{21}} & {\color{Red} ka_{22}} & {\color{Red} ka_{23}}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \\ &AE_3(2(k))= \begin{pmatrix} a_{11} & {\color{Red} ka_{12}} & a_{13}\\ a_{21} & {\color{Red} ka_{22}} & a_{23}\\ a_{31} & {\color{Red} ka_{32}} & a_{33} \end{pmatrix} \end{align*} $ $

例3：数乘相加 $ $ \begin{align*} &A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{pmatrix} \\ &E_4(23(k))= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & k & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &E_4(23(k))A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ {\color{Red} a_{21}+ka_{31}} & {\color{Red} a_{22}+ka_{32}} & {\color{Red} a_{23}+ka_{33}} & {\color{Red} a_{24}+ka_{34}} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{pmatrix} \\ &AE_4(23(k))= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & {\color{Red} ka_{12}+a_{13}} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & {\color{Red} ka_{22}+a_{23}} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & {\color{Red} ka_{32}+a_{33}} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & {\color{Red} ka_{42}+a_{43}} & a_{44} \end{pmatrix} \end{align*} $ $

性质2：方阵$A$可逆的充分必要条件是，存在有限个初等矩阵$P_1$，$P_2$，$\cdots$，$P_l$，使$A=P_1 P_2 \cdots P_l$

性质2推论：方阵$A$可逆的充分必要条件是$A\underset{}{\overset{r}{\sim}}E$

性质3

设$A$与$B$为$m \times n$矩阵，那么

$A\underset{}{\overset{r}{\sim}}B$的充分必要条件是存在$m$阶可逆矩阵$P$，使$PA=B$；
$A\underset{}{\overset{c}{\sim}}B$的充分必要条件是存在$n$阶可逆矩阵$Q$，使$AQ=B$；
$A \sim B$的充分必要条件是存在$m$阶可逆矩阵$P$及$n$阶可逆矩阵$Q$，使$PAQ=B$。

初等变换法求逆矩阵

设$A$是$n$阶可逆矩阵，则$\left ( \begin{array} {c:c} A & E\end{array}\right) \underset{}{\overset{初等行变换}{\longrightarrow }} \left ( \begin{array} {c:c} E & A^{-1}\end{array}\right)$

矩阵的秩

$k$阶子式

在$m \times n$矩阵中，任取$k$行与$k$列（其中$k \le min\{m,n\}$），不改变它们在$A$中所处的位置次序而得的$k$阶行列式，称为矩阵$A$的$k$阶子式

矩阵的秩

设在矩阵$A$中有一个不等于$0$的$r$阶子式$D$，且所有$r + 1$阶子式（如果存在）全等于$0$，那么$D$称为$A$的最高阶非零子式，数$r$称为矩阵$A$的秩，并记作$R(A)$，规定$0$矩阵的秩等于$0$

秩的计算

若$A \sim B$，则$R(A) = R(B)$（矩阵的初等变换不改变矩阵的秩）

对于$n$阶矩阵A，其$n$阶子式只有$|A|$，当$|A| \ne 0$时，$R(A) = n$，当$|A| = 0$时，$R(A) \lt n$，因此可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵又称降秩矩阵

矩阵秩的计算：当矩阵阶数较低时，可以采用定义法求出矩阵的秩；当矩阵阶数较高时，将高阶矩阵通过初等行变换转化为行阶梯型矩阵，它的秩等于非零行的行数

矩阵秩的性质

$0 \le R(A_{m \times n}) \le min\{m,n\}$
$R(A^T)=R(A)=R(A^T A)=R(A A^T)$
若$A \sim B$，则$R(A) = R(B)$
若$P$、$Q$可逆，则$R(PAQ)=R(PA)=R(AQ)=R(A)$
$max\{R(A),R(B)\} \le R(A,B) \le R(A)+R(B)$
$R(A+B) \le R(A)+R(B)$
$R(AB) \le min\{R(A),R(B)\}$
若$A_{m \times n}B_{n \times l}=O$，则$R(A)+R(B) \le n$
$R(A^{*})=\begin{cases}
n，&R(A)=n，\\
1，&R(A)=n-1，\\
0，&R(A)\lt n-1，
\end{cases}$其中$A$为$n(n\ge 2)$阶方阵

向量

向量定义

$n$个有次序的数$a_1,a_2,\cdots,a_n$所组成的数组称为$n$维向量，这$n$个数组称为向量的分量，第$i$个数$a_i$称为第$i$个分量

例，两个3维向量： $ $ \begin{align*} &\text{3维列向量} \space a=\begin{pmatrix} a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3} \end{pmatrix} \\ &\text{3维行向量} \space b=\begin{pmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \end{pmatrix} \end{align*} $ $

若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合叫向量组，例如一个$m \times n$矩阵的全体列向量是一个含$n$个$m$维列向量的向量组，全体行向量是一个含$m$个$n$维行向量的向量组

例，4个3维列向量所组成的列向量组$A:a_1,a_2,a_3,a_4$构成一个$3 \times 4$的矩阵： $ $ \begin{align*} A=(a_1,a_2,a_3,a_4)= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} & a_{41}\\ a_{12} & a_{22} & a_{32} & a_{42}\\ a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{43} \end{pmatrix}\text{} \end{align*} $ $ 4个3维行向量所组成的行向量组$B:b_1,b_2,b_3,b_4$构成一个$4 \times 3$的矩阵： $ $ \begin{align*} B=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13}\\ b_{21} & b_{22} & b_{23}\\ b_{31} & b_{32} & b_{33}\\ b_{41} & b_{42} & b_{43} \end{pmatrix} \end{align*} $ $

线性组合

向量的线性表示

给定向量组$A:a_1,a_2,\cdots,a_m$，对于任意一组实数$k_1,k_2,\cdots,k_m$，表达式$k_1a_1+k_2a_2+\cdots+k_ma_m$称为向量组$A$的一个线性组合，$k_1,k_2,\cdots,k_m$称为这个线性组合的系数

给定向量组$A:a_1,a_2,\cdots,a_m$和向量$b$，如果存在一组数$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m$，使$b=\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\cdots+\lambda_ma_m$，则向量$b$是向量$A$的线性组合，称向量$b$能由向量组$A$线性表示
等同于线性方程组$x_1a_1+x_2a_2+\cdots+x_ma_m=b$有解

向量$b$能由向量组$A:a_1,a_2,\cdots,a_m$线性表示的充分必要条件是矩阵$A=(a_1,a_2,\cdots,a_m)$的秩等于矩阵$B=(a_1,a_2,\cdots,a_m,b)$的秩
当$R(A)=R(B)$时，线性方程组$x_1a_1+x_2a_2+\cdots+x_ma_m=b$有解

向量组的线性表示

向量组等价

设有两个向量组$A:a_1,a_2,\cdots,a_m$及$B:b_1,b_2,\cdots,b_l$，若$B$组中的每个向量都能由向量组$A$线性表示，则称向量组$B$能由向量组$A$线性表示。若向量组$A$与向量组$B$能互相线性表示，则称这两个向量组等价

把向量组$A$和$B$所构成的矩阵依次记作$A=(a_1,a_2,\cdots,a_m)$和$B=(b_1,b_2,\cdots,b_l)$，向量组$B$能由向量组$A$线性表示，即对每个向量$b_j(j=1,2,\cdots,l)$存在数$k_{1j},k_{2j},\cdots,k_{mj}$，使

$ $ \begin{align*} b_j=k_{1j}a_1+k_{2j}a_2+\cdots+k_{mj}a_m=(a_1,a_2,\cdots,a_m)\begin{pmatrix} k_{1j}\\ k_{2j}\\ \vdots\\ k_{mj} \end{pmatrix} \end{align*} \begin{align*} (b_1,b_2,\cdots,b_l)=(a_1,a_2,\cdots,a_m)\begin{pmatrix} k_{11} & k_{12} & \cdots & k_{1l}\\ k_{21} & k_{22} & \cdots & k_{2l}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ k_{m1} & k_{m2} & \cdots & k_{ml} \end{pmatrix} \end{align*} $ $

其中，矩阵$K_{m \times l}=(k_{ij})$称为这一线性表示的系数矩阵

例： $ $ \begin{align*} &有两个如下向量组A、B\\ &A=\left (\alpha _1,\alpha _2 \right) = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\\ &B=\left (\beta _1,\beta _2 \right) = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 2 & -1 \end{pmatrix}\\ &并有系数矩阵K_1、K_2\\ &K_1=\begin{pmatrix} -2 & 3\\ 2 & -1 \end{pmatrix}\\ &K_2=\begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\\ &又AK_1=B，BK_2=A\\ &于是有：A、B等价 \end{align*} $ $

列向量组与行向量组的线性表示

若$C_{m \times n}=A_{m \times l} \times B_{l \times n}$，则矩阵$C$的列向量组能由矩阵$A$的列向量组表示，$B$为这一表示的系数矩阵：

$ $ \begin{align*} (c_1,c_2,\cdots,c_n)=(a_1,a_2,\cdots,a_l)\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n}\\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ b_{l1} & b_{l2} & \cdots & b_{ln} \end{pmatrix} \end{align*} $ $

若$C_{m \times n}=A_{m \times l} \times B_{l \times n}$，则矩阵$C$的行向量组能由矩阵$B$的行向量组表示，$A$为这一表示的系数矩阵：

$ $ \begin{align*} \begin{pmatrix} c_1^T\\ c_2^T\\ \vdots \\ c_m^T \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1l}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2l}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{ml} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1^T\\ b_2^T\\ \vdots \\ b_l^T \end{pmatrix} \end{align*} $ $

定理1
向量组$B:b_1,b_2,\cdots,b_l$能由向量组$A:a_1,a_2,\cdots,a_m$线性表示的充分必要条件是矩阵$A=(a_1,a_2,\cdots,a_m)$的秩等于矩阵$(A,B)=(a_1,a_2,\cdots,a_m,b_1,b_2,\cdots,b_l)$的秩，即$R(A)=R(A,B)$

定理1推论
向量组$A:a_1,a_2,\cdots,a_m$与向量组$B:b_1,b_2,\cdots,b_l$等价的充分必要条件是$R(A)=R(B)=R(A,B)$，其中$A$和$B$是向量组$A$和$B$所构成的矩阵

定理2
设向量组$B:b_1,b_2,\cdots,b_l$能由向量组$A:a_1,a_2,\cdots,a_m$线性表示，则$R(b_1,b_2,\cdots,b_l) \le R(a_1,a_2,\cdots,a_m)$

线性相关

线性相关性的定义

给定向量组$A:a_1,a_2,\cdots,a_m$，如果存在不全为零的数$k_1,k_2,\cdots,k_m$，使

$ $ \begin{align*} k_1a_1+k_2a_2+\cdots+k_ma_m=0 \end{align*} $ $

则称向量组$A$是线性相关的，否则称它线性无关如果向量组$A:a_1,a_2,\cdots,a_m$线性相关，那么在向量$A$中至少有一个向量能由其余$m-1$个向量线性表示，这是因为有不全为$0$的数$k_1,k_2,\cdots,k_m$，使$k_1a_1+k_2a_2+\cdots+k_ma_m=0$，假设$k_1 \ne 0$，那么有

$ $ \begin{align*} a_1=\frac {-1}{k_1}(k_2a_2+\cdots+k_ma_m) \end{align*} $ $

即$a_1$能由$a_2,\cdots,a_m$线性表示
同样，如果向量组$A:a_1,\cdots,a_m$中某个向量能由其余$m-1$个向量线性表示，即有$\lambda_1,\cdots,\lambda_{m-1}$，使$a_m=\lambda_1a_1+\cdots+\lambda_{m-1}a_{m-1}$，于是有

$ $ \begin{align*} \lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\cdots+\lambda_{m-1}a_{m-1}+(-1)a_m=0 \end{align*} $ $

因为$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_{m-1},-1$这$m$个数不全为$0$，所以向量组$A$线性相关
线性相关的向量组中，至少有一个向量是其余向量的线性组合，并称这个向量是多余的；在线性无关的向量组中，没有任何向量是其余向量的线性组合

线性相关性的判别

向量组$A:a_1,a_2,\cdots,a_m$线性相关的充分必要条件是

1.向量组$A$中至少有一个向量可由其余向量线性表示

$ $ \begin{array}{l} \because A线性相关 \\ \therefore 存在不全为0的数k_1,k_2,\cdots,k_m，\\ 使k_1a_1+k_2a_2+\cdots+k_ma_m=0 \\ \\ 如果设k_1\ne 0，则有\\ a_1=\frac {-1}{k_1}(k_2a_2+\cdots+k_ma_m)\\ \\ 即:a_1能由a_2,\cdots,a_m线性表示 \end{array} $ $

特别的，(1).对于只有一个向量$a$的向量组$A$，当$a=0$（$a$为零向量）时$A$是线性相关的，当$a\ne 0$时（$a$不为零向量）时$A$是线性无关的；此外，如果任意一个向量组$A$中含有零向量，则$A$必定线性相关

$ $ \begin{array}{l} 设a_1=0\\ \therefore 存在不全为0的数k_1,k_2,\cdots,k_m\\ 使a_1=0\\ \\ 即:A线性相关 \end{array} $ $

(2).只有两个向量的向量组$A:a_1,a_2$，当$a_1$、$a_2$的分量对应成比例时，$A$是线性相关的

$ $ \begin{array}{l} 设a_1,a_2成比例\\ \therefore 存在不全为0的数k_1,k_2\\ 使k_1a_1+k_2a_2=0\\ \\ 即:A线性相关 \end{array} $ $

2.齐次线性方程组$x_1a_1+x_2a_2+\cdots+x_ma_m=0$有非零解

定理：向量组$A:a_1,a_2,\cdots,a_m$线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵$A=(a_1,a_2,\cdots,a_m)$的秩小于向量个数$m$，即$R(A) \lt m$；向量组$A$线性无关的充分必要条件是$R(A)=m$

(1).线性方程组$x_1a_1+x_2a_2+\cdots+x_ma_m=0$有非零解，则$R(a_1,a_2,\cdots,a_m) \lt m$，即$A$线性相关；若线性方程组$x_1a_1+x_2a_2+\cdots+x_ma_m=0$只有零解，那么$R(a_1,a_2,\cdots,a_m) = m$，$A$线性无关

(2).线性方程组$x_1a_1+x_2a_2+\cdots+x_ma_m=0$有非零解，存在不全为零的数$k_1,k_2,\cdots,k_m$，使$k_1a_1+k_2a_2+\cdots+k_ma_m=0$成立，则$A$线性相关；线性方程组$x_1a_1+x_2a_2+\cdots+x_ma_m=0$只有零解，那么只有当$k_1,k_2,\cdots,k_m$全为零时，$k_1a_1+k_2a_2+\cdots+k_ma_m=0$成立，则$A$线性无关

线性相关的性质

设向量组$A:a_1,a_2,\cdots,a_m$线性无关，而向量组$B:a_1,a_2,\cdots,a_m,b$线性相关，则向量$b$必能由向量组$A$线性表示，且表示式是唯一的
若向量组$A:a_1,a_2,\cdots,a_m$线性相关，则向量组$B:a_1,a_2,\cdots,a_m,a_{m+1}$线性相关；若向量组$B:a_1,a_2,\cdots,a_m,a_{m+1}$线性无关，则向量组$A:a_1,a_2,\cdots,a_m$线性无关
设$A:a_1,a_2,\cdots,a_m$为$m$个$n$维向量组成的向量组，当$n \lt m$时，$A$线性相关

向量组的秩

最大无关组

设有向量组$A$，如果在$A$中能选出$r$个向量$a_1,a_2,\cdots,a_r$满足

向量组$A_0:a_1,a_2,\cdots,a_r$线性无关
向量组$A$中任意$r+1$个向量（如果$A$中有$r+1$个向量的话）都线性相关
那么称向量组$A_0$是向量组$A$的一个最大线性无关向量组（简称最大无关组）

向量组的秩

向量组$A$的最大无关组所包含向量的个数$r$，称为向量组$A$的秩，记作$R_A$

注意：最大无关组不一定唯一

例： $ $ \begin{array}{l} 向量组A:a_1,a_2,a_3\\ 其中 a_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 8 \end{pmatrix}， a_2=\begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ 7 \end{pmatrix}， a_3=\begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 16 \end{pmatrix}\\ 可取最大无关组A_0:a_1,a_2或A_1:a_2,a_3\\ \end{array} $ $

向量组秩的性质

只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为零
若向量组$A$线性无关，则$A$自身就是它的最大无关组
向量组$A$和它的最大无关组$A_0$是等价的

推论（最大无关组的等价定义）
设向量组$A_0:a_1,a_2,\cdots,a_r$是向量组$A$的一个部分组，且满足

向量组$A_0$线性无关
向量组$A$的任一向量都能由向量组$A_0$线性表示

那么向量组$A_0$便是向量组$A$的一个最大无关组

定理
矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩

线性方程组的解

设有$n$个未知数$m$个方程的线性方程组$\eqref {eq1}$

$ $ \begin{align} \label {eq1} \left\{ \begin{array}{lll} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\ \vdots\\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m} \end{array} \right. \end{align} $ $

方程组$\eqref {eq1}$可表示为$Ax=b$，其中$A$为系数矩阵，$x$为未知数矩阵，$b$为常数项矩阵，利用$A$与增广矩阵$\overline{A} = (A \space \vdots \space b)$的秩讨论线性方程组的解，如果线性方程组有解，则称它是相容的，反之称为不相容

定理1：对于上述方程组$Ax=b$

无解的充分必要条件是$R(A) \lt R(\overline{A})$
有惟一解的充分必要条件是$R(A)=R(\overline{A})=n$
有无限多解的充分必要条件是$R(A)=R(\overline{A}) \lt n$

定理2：$n$元齐次线性方程组$Ax=0$有非零解的充分必要条件是$R(A) \lt n$

定理3：线性方程组$Ax=b$有解的充分必要条件是$R(A) = R(\overline{A})$

定理4：矩阵方程$AX=B$有解的充分必要条件是$R(A)=R(A \space \vdots \space B)$

定理5：设$AB=C$，则$R(C) \le min\{R(A),R(B)\}$

线性方程组解的结构

齐次线性方程组解的结构

设有齐次线性方程组

$ $ \begin{align} \label {eq2} \left\{ \begin{array}{lll} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=0 \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=0 \\ \vdots\\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=0 \end{array} \right. \end{align} $ $

其向量方程为$Ax=0$，设它的解向量$x=\xi _i=\begin{pmatrix}
\xi_{1i} \\
\xi_{2i} \\
\vdots \\
\xi_{ni}
\end{pmatrix}$，其解的结构有如下性质

性质1
若$x=\xi_1$，$x=\xi_2$为齐次方程组$\eqref {eq2}$的解，则$x=\xi_1+\xi_2$也是齐次方程组$\eqref {eq2}$的解

性质2
若$x=\xi_1$为齐次方程组$\eqref {eq2}$的解，$k$为实数，则$x=k\xi_1$也是齐次方程组$\eqref {eq2}$的解

齐次线性方程组的通解

把齐次线性方程组的全体解所组成的集合记作$S$，求得解集$S$的一个最大无关组$S_0:\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_t$，向量方程的任一解都可由最大无关组$S_0$线性表示，则最大无关组$S_0$的任何线性组合

$ $ \begin{align*} x=k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_t\xi_t（k_1,k_2,\cdots,k_t为任意实数） \end{align*} $ $

都是齐次方程组$\eqref {eq2}$的通解，该最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系

如果$x=\xi_i(i=1,2,\cdots,t)$都是$Ax=0$的解，$k_i(i=1,2,\cdots,t)$为任意实数，那么$x=k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_t\xi_t$也是$Ax=0$的解

定理7
设有$m \times n$矩阵$A$的秩$R(A)=r$，则$n$元齐次线性方程组$Ax=0$的解集$S$的秩为$R_S=n-r$
$n$元非齐次线性方程组$Ax=b$的解集$S$的秩为$R_S=n-r+1$

非齐次线性方程组解的结构

设有非齐次线性方程组

$ $ \begin{align} \label {eq3} \left\{ \begin{array}{lll} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_1 \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_2 \\ \vdots\\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_m \end{array} \right. \end{align} $ $

其向量方程为$Ax=b$，设它的解向量$x=\eta _i=\begin{pmatrix}
\eta_{1i} \\
\eta_{2i} \\
\vdots \\
\eta_{ni}
\end{pmatrix}$

性质3
设$x=\eta_1$，$x=\eta_2$都是非齐次方程组$\eqref {eq3}$的解，则$x=\eta_1-\eta_2$为对应的齐次方程组$\eqref {eq2}$的解

性质4
设$x=\eta$是非齐次方程组$\eqref {eq3}$的解，$x=\xi$是对应的齐次方程组$\eqref {eq2}$的解，则$x=\eta+\xi$仍是非齐次方程组$\eqref {eq3}$的解

非齐次线性方程组的通解

如果$\eta_0$是$Ax=b$的特解，$\xi_1,\cdots,\xi_{n-r}$是$Ax=0$的一个基础解系，则$Ax=b$的通解为$\eta=\eta_0+k_1\xi_1+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r}$；其中$k_i(i=1,\cdots,n-r)$为任意实数，$n$是未知数$x_n$的个数，$r=R(A)$

向量空间

定义6
设$V$为$n$维向量的集合，如果集合$V$非空，且集合$V$对于向量的加法及数乘两和运算封闭，那么就称集合$V$为向量空间
所谓封闭，是指在集合$V$中可以进行向量的加法及数乘两种运算；若$a\in V，b\in V$，则$a+b\in V$；若$a\in V，k\in R$，则$ka \in V$

向量空间的基

定义7

设有向量空间$V_1$及$V_2$，若$V_1\subseteq V_2$，就称$V_1$是$V_2$的子空间

定义8
设$V$为向量空间，如果$r$个向量$a_1,a_2,\cdots,a_r \in V$，且满足

$a_1,a_2,\cdots,a_r$线性无关
$V$中任一向量都可由$a_1,a_2,\cdots,a_r$线性表示

那么，向量组$a_1,a_2,\cdots,a_r$就称为向量空间的一个基，$r$称为向量空间$V$的维数，并称$V$为$r$维向量空间

坐标

定义9
设向量空间$V$的基为$a_1,a_2,\cdots,a_r$，对于$V$中任一向量$\alpha$可惟一的表示为

$ $ \begin{align*} \alpha = \lambda_1\alpha_1+\lambda_2\alpha_2+\cdots+\lambda_r\alpha_r \end{align*} $ $

则称$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_r$为向量$\alpha$在基$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$中的坐标

过渡矩阵与坐标转换

设$a_1,a_2,a_3$和$b_1,b_2,b_3$均为$R^3$的基，$y_1,y_2,y_3$和$z_1,z_2,z_3$分别为基中坐标，并设矩阵$A=(a_1,a_2,a_3)$，$B=(b_1,b_2,b_3)$，求用$a_1,a_2,a_3$表示$b_1,b_2,b_3$的表示式的公式为基变换公式，求向量在两个基中的坐标之间的关系式的公式为坐标变换公式

基变换公式：

$ $ \begin{align*} (b_1,b_2,b_3)=(a_1,a_2,a_3)P \end{align*} $ $

其中，过渡矩阵$P=A^{-1}B$

坐标变换公式：

$ $ \begin{align*} \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{pmatrix} = P^{-1} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} \end{align*} $ $

数学常用公式定理1数学常用公式定理2数学常用公式定理3数学常用公式定理4数学常用公式定理6