数学常用公式定理2

数学常用公式定理1数学常用公式定理3数学常用公式定理4数学常用公式定理5数学常用公式定理6

不定积分

不定积分的性质

性质1 设函数$f(x)$及$g(x)$的原函数存在，则

$ $ \begin{align*} \int \left [ f(x) \pm g(x) \right ] \mathrm{d}x = \int f(x) \mathrm{d}x \pm \int g(x) \mathrm{d}x \end{align*} $ $

性质2 设函数$f(x)$的原函数存在，$k$为非零常数，则

$ $ \begin{align*} \int kf(x)dx = k\int f(x)dx \end{align*} $ $

性质3

$ $ \begin{align*} {\left ( \int f(x)dx \right ) }' = f(x) \end{align*} \begin{align*} d\int f(x)dx = f(x)dx \end{align*} $ $

性质4

$ $ \begin{align*} \int {f}'(x)dx = f(x)+C \end{align*} \begin{align*} \int df(x) = f(x)+C \end{align*} $ $

三角代换

一般的，a>0时，当被积函数有

1. $\sqrt{a^{2} - x^{2} } $，可做代换$x=a\sin {u}(-\frac{\pi }{2} < u < \frac{\pi }{2} )$
2. $\sqrt{x^{2} + a^{2} } $，可做代换$x=a\tan {u}(-\frac{\pi }{2} < u < \frac{\pi }{2} )$
3. $\sqrt{x^{2} - a^{2} } $，可做代换$ x=a\sec {u}(x>a时，0<u<\frac{\pi}{2}；x<-a时，令x=t，则t \gt a) $

基本积分公式

1. $\int k\mathrm{d}x = kx+C $
2. $\int x^{n}\mathrm{d}x=\frac{x^{n +1}}{n +1}+C, \left({n \neq -1}\right) $
3. $\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x= \ln \left| x \right| +C $
4. $\int \frac{1}{x^{2} }\mathrm{d}x= -\frac{1}{x} +C $
5. $\int e^{x}\mathrm{d}x= e^{x} + C $
6. $\int a^{x}\mathrm{d}x=\frac{a^{x}}{\ln_{}{a} }+C \,\,\, \left({a > 0\text{且}a≠1 }\right) $
7. $\int \cos x \mathrm{d}x = \sin x + C$
8. $\int \sin x \mathrm{d}x = -\cos x + C $
9. $\int \tan {x} \mathrm{d}x = -\ln \left|\cos {x}\right| + C $
10. $\int \cot {x}\mathrm{d}x = \ln \left|\sin {x}\right| + C $
11. $\int \sec {x}\mathrm{d}x = \ln \left|\sec {x} + \tan {x}\right| + C $
12. $\int \csc {x}\mathrm{d}x = \ln \left|\cot {x} - \csc {x}\right| + C $
13. $\int \sec x \tan x \mathrm{d}x = \sec x + C $
14. $\int \csc x \cot x \mathrm{d}x = -\csc x + C $
15. $\int \frac{\mathrm{d}x }{\cos ^{2}x} = \int \sec ^{2}x\mathrm{d}x = \tan x + C$
16. $\int \frac{\mathrm{d}x }{\sin ^{2}x} = \int \csc ^{2}x\mathrm{d}x = -\cot x + C$
17. $\int \frac{\mathrm{d}x }{\sqrt{1-x^{2}} } = \arcsin x + C$
18. $\int \frac{\mathrm{d}x }{\sqrt{a^2-x^{2}} } = \arcsin \frac{x}{a} + C$
19. $\int -\frac{\mathrm{d}x }{\sqrt{1-x^{2}} } = \arccos x + C$
20. $\int \frac{1}{\sqrt[]{x^2+a^2} } \mathrm{d} x = \ln (x+\sqrt[]{x^2+a^2} ) + C$
21. $\int \frac{1}{\sqrt[]{x^2-a^2} } \mathrm{d} x = \ln \left|x+\sqrt[]{x^2-a^2} \right| + C(x^2\ge a^2)$
22. $\int \frac{\mathrm{d}x }{1+x^{2} } = \arctan x + C$
23. $\int \frac{\mathrm{d}x }{a^2+x^{2} } = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C$
24. $\int -\frac{\mathrm{d}x }{1+x^{2} } = \operatorname{arccot} x + C$
25. $\int \frac{1}{x^2-a^2} \mathrm{d}x = \frac{1}{2a} \ln \left |\frac{x-a}{x+a} \right | +C$

常用凑微分等式

1. $\mathrm{d}x = \frac{1}{a} \mathrm{d} (ax) $
2. $x\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \mathrm{d} (x^2) $
3. $x^{2}\mathrm{d}x = \frac{1}{3} \mathrm{d} (x^3) $
4. $\frac{\mathrm{d}x }{\sqrt{x} } = 2\mathrm{d} (\sqrt[]{x} )$
5. $\frac{1}{x} \mathrm{d}x = \mathrm{d} (\ln \left | x \right | )$
6. $\frac{1}{x^{2}} \mathrm{d}x = \mathrm{d} (-\frac{1}{x} )$
7. $e^{x} \mathrm{d}x = \mathrm{d}(e^{x}) $
8. $\cos x \mathrm{d}x = \mathrm{d}(\sin x) $
9. $\sin x \mathrm{d}x = \mathrm{d}(-\cos x) $
10. $\frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{d}x = \mathrm{d}(\arctan x) $
11. $\frac{1}{\sqrt[]{1-x^{2}} } \mathrm{d}x = \mathrm{d}(\arcsin x) $
12. $\sec ^{2} x \mathrm{d}x = \mathrm{d}(\tan x) $
13. $\csc ^{2} x \mathrm{d}x = \mathrm{d}(-\cot x) $

定积分

定积分定义

  设函数$f(x)$在$[a,b]$上有界，在$[a,b]$中任意插入若干个分支点

$ $ \begin{align*} a=x_0 \lt x_1 \lt \cdots \lt x_{n-1} \lt x_n=b \end{align*} $ $

把区间$[a,b]$分成$n$个小区间

$ $ \begin{align*} [x_0,x_1],[x_1,x_2],\cdots ,[x_{n-1},x_n] \end{align*} $ $

各个小区间的长度依次为

$ $ \begin{align*} \Delta x_1=x_1-x_0,\Delta x_2=x_2-x_1,\cdots ,\Delta x_n=x_n-x_{n-1} \end{align*} $ $

在每个小区间$[x_i,x_{i+1}]$上任取一点$\xi_i$（$x_{i-1} \le \xi_i \le x_i$），对函数值$f(\xi_i)$与$\Delta x_i$的乘积求和

$ $ \begin{align*} S=\sum_{i=1}^{n} f(\xi _i)\Delta x_i \end{align*} $ $

记$\lambda = \max \left \{ \Delta x_1,\Delta x_2,\cdots,\Delta x_n \right \} $，当$\lambda \to 0$时，和式的极限总存在，则该极限称为$f(x)$在区间$[a,b]$上的定积分

$ $ \begin{align*} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i \end{align*} $ $

定积分的精确定义

  将$[a,b]$等分为n个小区间，则各小区间的长度$\Delta x_i$相等，取每个小区间的右端点为$\xi _i$，于是有和式极限

$ $ \begin{align*} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x=\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{b-a}{n} f\left [ a+\frac{(b-a)i}{n} \right ] \end{align*} $ $

其中

$ $ \begin{align*} & x=\xi_i = \left [ a+\frac {(b-a)i}{n} \right],\\ & a=\xi_1,b=\xi_n,\\ & \mathrm{d}x=\frac{b-a}{n}\\ \end{align*} $ $

当$a$、$b$取$0$、$1$时

$ $ \begin{align*} \int_{0}^{1} f(x)\mathrm{d}x = \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n} f(\frac{i}{n} )\frac{1}{n} \end{align*} $ $

若要将和式极限转换为定积分形式

$ $ \begin{align*} & \color{red} Tip:先凑出小积分区间长度\Delta x_i \\ & \mathrm{d}x = \Delta x_i = \frac{b-a}{n} \\ & \color{red} Tip:根据小积分区间长度，得到精确定义的\xi_i \\ & x = \xi _i =a+\frac{(b-a)i}{n} \\ & \color{red}Tip:确定积分下限和积分上限 \\ & a为积分下限(a = \lim_{n \to \infty } \xi_1)，b为积分上限(b=\lim_{n \to \infty} \xi_n)\\ &\color{red} Tip: 根据原式确定函数f(x)，于是得到\\ & \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x \end{align*} $ $

  例：将$\lim_{n \to \infty } \sum_{i=1}^{n} \frac{i}{n^2} \ln \left ( 1+\frac {i}{n} \right ) $转化为定积分形式 $ $ \begin{align*} & 原式=\lim_{n \to \infty } \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n} \cdot \frac{i}{n} \ln \left ( 1+\frac {i}{n} \right ) \\ & 令\mathrm{d}x = \Delta x_i = \frac{1}{n} \\ & \therefore x = \xi_i = (0+\frac{i}{n}) \\ & \therefore a = 0，b = 1 \\ & 根据原式，f(x) = x\ln (1+x) \\ & 于是有\int_{0}^{1} x\ln (1+x)\mathrm{d}x \end{align*} $ $

定积分的性质

规定1 当$ b=a $时

$ $ \begin{align*} \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x = 0 \end{align*} $ $

规定2 当$ a\gt b $时

$ $ \begin{align*} \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x = -\int_{b}^{a} f(x)\mathrm{d}x \end{align*} $ $

性质1 被积函数中的常数因子可以提到积分号外

$ $ \begin{align*} \int_{a}^{b} kf(x)\mathrm{d}x = k\int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x \; (k是常数) \end{align*} $ $

性质2 两个函数代数和、差的积分等于积分代数的和、差

$ $ \begin{align*} \int_{a}^{b} [f(x) \pm g(x)]\mathrm{d}x = \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x \pm \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d}x \end{align*} $ $

性质3 可加性，设$ a \lt b \lt c $，有

$ $ \begin{align*} \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x = \int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d}x + \int_{c}^{b} f(x)\mathrm{d} x \end{align*} $ $

性质4 如果在区间$[a,b]$上$f(x) \equiv 1$，则

$ $ \begin{align*} \int_{a}^{b} 1\mathrm{d}x = \int_{a}^{b} \mathrm{d}x = b-a \end{align*} $ $

性质5 如果在区间$[a,b]$上$f(x) \ge 0$，则

$ $ \begin{align*} \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x \ge 0 \; (a \lt b) \end{align*} $ $

推论1 如果在区间$[a,b]$上$f(x) \le g(x)$，则

$ $ \begin{align*} \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d} x \le \int_{a}^{b} g(x)\mathrm{d} x \; (a \lt b) \end{align*} $ $

推论2

$ $ \begin{align*} \left|\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x \right| \le \int_{a}^{b} \left|f(x)\right| \mathrm{d} x \; (a \lt b) \end{align*} $ $

性质6 估值定理。设$M$及$m$分别是函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的最大值及最小值，则

$ $ \begin{align*} m(b-a) \le \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x \le M(b-a) \end{align*} $ $

性质7 定积分中值定理。如果函数$f(x)$在积分区间$[a,b]$上连续，那么在$[a,b]$上至少存在一个点$\xi$，使下式成立

$ $ \begin{align*} \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=f(\xi)(b-a) \; (a \le \xi \le b) \end{align*} $ $

推论3 推广的定积分中值定理。如果函数$f(x)$，$g(x)$在积分区间$[a,b]$上连续，且$g(x)$在$[a,b]$上不变号，那么在$(a,b)$上至少存在一个点$\xi$，使下式成立

$ $ \begin{align*} \int_{a}^{b} f(x)g(x)\mathrm{d}x = f(\xi)\int_{a}^{b} g(x)\mathrm{d}x \end{align*} $ $

性质8 由定积分的几何意义可知，当$a\gt 0$时

$ $ \begin{align*} \int_{-a}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{d}x = \frac{\pi }{2} a^{2} \\ \int_{0}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{d}x = \frac{\pi }{4} a^{2} \end{align*} $ $

牛顿-莱布尼兹公式

微积分基本定理 如果函数$F(x)$是连续函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的一个原函数，那么

$ $ \begin{align*} \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b) -F(a) \end{align*} $ $

反常积分

无穷区间

  1.设函数$f(x)$在区间$[a,+\infty )$上连续，则$f(x)$在无穷区间$[a,+\infty )$上的反常积分

$ $ \begin{align*} \int_{a}^{+\infty } f(x)\mathrm{d}x = \lim_{t \to +\infty} \int_{a}^{t}f(x)\mathrm{d}x \end{align*} $ $

  2.设函数$f(x)$在区间$(-\infty,b]$上连续，则$f(x)$在无穷区间$(-\infty,b]$上的反常积分

$ $ \begin{align*} \int_{-\infty}^{b } f(x)\mathrm{d}x = \lim_{t \to -\infty} \int_{t}^{b}f(x)\mathrm{d}x \end{align*} $ $

  3.设函数$f(x)$在区间$(-\infty,+\infty)$上连续，则函数$f(x)$在无穷区间$(-\infty,+\infty)$上的反常积分

$ $ \begin{align*} \int_{-\infty}^{ +\infty} f(x)\mathrm{d}x = \int_{-\infty}^{ 0} f(x)\mathrm{d}x + \int_{0}^{ +\infty} f(x)\mathrm{d}x = \lim_{t \to -\infty} \int_{t}^{b}f(x)\mathrm{d}x +\lim_{t \to +\infty} \int_{a}^{t}f(x)\mathrm{d}x \end{align*} $ $

无界函数（瑕积分）

  1.设函数$f(x)$在区间$(a,b]$上连续，则$f(x)$在区间$(a,b]$上的反常积分

$ $ \begin{align*} \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x = \lim_{t \to a^+} \int_{t}^{b} f(x)\mathrm{d}x \end{align*} $ $

  2.设函数$f(x)$在区间$[a,b)$上连续，则$f(x)$在区间$[a,b)$上的反常积分

$ $ \begin{align*} \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x = \lim_{t \to b^-} \int_{a}^{t} f(x)\mathrm{d}x \end{align*} $ $

  3.设函数$f(x)$在区间$[a,c)\cup(c,b]$上连续，则$f(x)$在区间$[a,b]$上的反常积分

$ $ \begin{align*} \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x = \int_{a}^{c} f(x)\mathrm{d}x +\int_{c}^{b} f(x)\mathrm{d}x = \lim_{t \to c^-} \int_{a}^{t} f(x)\mathrm{d}x +\lim_{t \to c^+} \int_{t}^{b} f(x)\mathrm{d}x \end{align*} $ $

$\Gamma$函数

$\Gamma$函数定义式

$ $ \begin{align*} \Gamma (s)=\int_{0}^{+\infty } e^{-x}x^{s-1}\mathrm{d} x \space \space (s\gt0) \end{align*} $ $

常用公式

1. $\Gamma (s+1)= s\Gamma (s)$
2. $\Gamma (n+1)=n!$ (n为正整数)
3. $\Gamma (\frac{1}{2} ) = \sqrt[]{\pi} $

反常积分申敛法

无穷区间

比较判别法

  设函数$f(x)$，$g(x)$在区间$\left[a,+\infty\right)$上连续，并且$ 0 \le f(x) \le g(x) (a\le x \lt +\infty)$，则

1. 如果$ \int_{a}^{+\infty } g(x)\mathrm{d}x $收敛，那么$ \int_{a}^{+\infty } f(x)\mathrm{d}x $收敛
2. 如果$ \int_{a}^{+\infty } f(x)\mathrm{d}x $发散，那么$ \int_{a}^{+\infty } g(x)\mathrm{d}x $发散

极限形式比较判别法

  设函数$f(x)$，$g(x)$在区间$\left[a,+\infty\right)$上连续，并且$ f(x) \ge 0 $，$ g(x) \gt 0 $，$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lambda $，则

1. 当$\lambda \ne 0$且$\lambda \ne \infty$时，$\int_{a}^{+\infty} g(x)\mathrm{d} x$与$\int_{a}^{+\infty} f(x)\mathrm{d} x$有相同的敛散性
2. 当$\lambda =0$时，若$\int_{a}^{+\infty} g(x)\mathrm{d} x$收敛，则$\int_{a}^{+\infty} f(x)\mathrm{d} x$收敛
3. 当$\lambda = \infty$时，若$\int_{a}^{+\infty} g(x)\mathrm{d} x$发散，则$\int_{a}^{+\infty} f(x)\mathrm{d} x$发散

无界函数

比较判别法

  设函数$f(x)$，$g(x)$在区间$\left(a,b\right]$上连续，瑕点同为$x=a$，并且$ 0 \le f(x) \le g(x) (a \lt x \le b)$，则

1. 如果$ \int_{a}^{b } g(x)\mathrm{d}x $收敛，那么$ \int_{a}^{b } f(x)\mathrm{d}x $收敛
2. 如果$ \int_{a}^{b } f(x)\mathrm{d}x $发散，那么$ \int_{a}^{b } g(x)\mathrm{d}x $发散

极限形式比较判别法

  设函数$f(x)$，$g(x)$在区间$\left(a,b\right]$上连续，瑕点同为$x=a$，并且$ f(x) \ge 0 $，$ g(x) \gt 0 $ $(a \lt x \le b)$，$\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lambda $，则

1. 当$\lambda \ne 0$且$\lambda \ne \infty$时，$\int_{a}^{b} g(x)\mathrm{d} x$与$\int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d} x$有相同的敛散性
2. 当$\lambda =0$时，若$\int_{a}^{b} g(x)\mathrm{d} x$收敛，则$\int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d} x$收敛
3. 当$\lambda = \infty$时，若$\int_{a}^{b} g(x)\mathrm{d} x$发散，则$\int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d} x$发散

重要结论

$ $ \begin{align*} &\int_{0}^{1} \frac{1}{x^p} \mathrm{d} x \begin{cases} \text{收敛} & 0 \lt p \lt 1 \\ \text{发散} & p \ge 1 \end{cases} \\ &\int_{1}^{+\infty } \frac{1}{x^p} \mathrm{d} x \begin{cases} \text{收敛} & p \gt 1 \\ \text{发散} & p \le 1 \end{cases} \end{align*} \begin{align*} &\int_{0}^{1} \frac{\ln x}{x^p} \mathrm{d} x \begin{cases} \text{收敛} & 0 \lt p \lt 1 \\ \text{发散} & p \ge 1 \end{cases} \\ &\int_{1}^{+\infty } \frac{\ln x}{x^p} \mathrm{d} x \begin{cases} \text{收敛} & p \gt 1 \\ \text{发散} & 0 \lt p \le 1 \end{cases} \end{align*} $ $

区间再现公式

若$f(x)$为连续函数，则

$ $ \begin{align*} \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d} x = \int_{a}^{b} f(a+b-x)\mathrm{d} x \end{align*} $ $

定积分求导公式

设有$F(x)=\int_{g(x)}^{h(x)}f(t)\mathrm{d}t$

则它的导数$F’(x)$为

$ $ \begin{align*} F'(x) = h'(x)f[h(x)]-g'(x)f[g(x)] \end{align*} $ $

华里士公式

$ $ \begin{align*} &\int_{0}^{\frac{\pi}{2} } \sin ^nx \mathrm{d}x = \int_{0}^{\frac{\pi}{2} } \cos ^nx \mathrm{d}x = \begin{cases} \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{2}{3} \cdot 1 ，&n为大于1的奇数\\ \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} ，&n为正偶数 \end{cases}\\ &\int_{0}^{\pi } \sin ^nx \mathrm{d}x = \begin{cases} 2 \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{2}{3} \cdot 1 ，&n为大于1的奇数\\ 2 \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} ，&n为正偶数 \end{cases}\\ &\int_{0}^{\pi } \cos ^nx \mathrm{d}x = \begin{cases} 0 ，&n为正奇数\\ 2 \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} ，&n为正偶数 \end{cases}\\ &\int_{0}^{2\pi } \sin ^nx \mathrm{d}x = \int_{0}^{2\pi } \cos ^nx \mathrm{d}x = \begin{cases} 0 ，&n为正奇数\\ 4 \cdot\frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} ，&n为正偶数 \end{cases} \end{align*} $ $

定积分几何应用

平面图形面积

  曲线$y_1=f_1(x)$、$y_2=f_2(x)$与$x=a$、$x=b$所围成的平面图形的面积为

$ $ \begin{align*} S=\int_{a}^{b} \left | y_1-y_2\right | \mathrm{d} x \end{align*} $ $

如果曲线$y=f(x)$由参数方程$\begin{cases}
x=\varphi(t) \\
y=\psi(t)
\end{cases}$（$\alpha \le t \le \beta$）给出，那么$y$与$x$轴所围成的平面图形的面积为

$ $ \begin{align*} S=\int_{\alpha}^{\beta} \left | \psi (t)\right | \mathrm{d} [\varphi (t)] \end{align*} $ $

曲边扇形面积

  曲线$r_1=r_1(\theta)$、$r_2=r_2(\theta)$与$\theta=\alpha$、$\theta=\beta$所围成的平面图形的面积为

$ $ \begin{align*} S=\frac{1}{2} \int_{\alpha }^{\beta } |r_1^2(\theta ) - r_2^2(\theta )|\mathrm{d} \theta \end{align*} $ $

  直角坐标与极坐标的对应关系 $ $ \begin{align*} x=r(\theta )\cos \theta \\ y=r(\theta )\sin \theta \end{align*} $ $

  扇形面积公式 $ $ \begin{align*} S_{\text{扇}}=\frac{1}{2}\theta r^2 \space \left ( \theta 为圆心角，r为半径 \right ) \end{align*} $ $

旋转体体积

  曲线$y=f(x)$与$x=a$、$x=b$及$x$轴围成的平面绕$x$轴旋转一周所得旋转体的体积为

$ $ \begin{align*} V=\int_{a}^{b} \pi [f(x)]^2\mathrm{d}x \end{align*} $ $

当曲线由参数方程$\begin{cases}
x=\varphi(t) \\
y=\psi(t)
\end{cases}$（$\alpha \le t \le \beta$）给出时

$ $ \begin{align*} V=\int_{\alpha}^{\beta} \pi [\psi(t)]^2\mathrm{d}[\varphi(t)] \end{align*} $ $

环形旋转体体积

  拱形曲线$y=f(x)$与$x$轴围成的平面绕$y$轴旋转一周所得旋转体的体积为

$ $ \begin{align*} V=2\pi \int_{a}^{b} \left|x \right| \left|f(x) \right| \mathrm{d}x \end{align*} $ $

当曲线由参数方程$\begin{cases}
x=\varphi(t) \\
y=\psi(t)
\end{cases}$（$\alpha \le t \le \beta$）给出时

$ $ \begin{align*} V=2\pi \int_{\alpha }^{\beta } \left|\varphi(t) \right| \left|\psi(t) \right| \mathrm{d}[\varphi(t)] \end{align*} $ $

定直线旋转体体积

  设平面曲线$L:y=f(x)$（$a \le x \le b$），且$f(x)$可导，定直线$L_0:Ax+By+C=0$，且过$L_0$的任一条垂线与$L$至多有一个交点，则$L$绕$L_0$旋转一周所得旋转体的体积为

$ $ \begin{align*} V=\frac{\pi}{(A^2+B^2)^{\frac{3}{2} }} \int_{a}^{b} \left [ Ax+Bf(x)+C \right ]^2\left| Af'(x)-B\right| \mathrm{d} x \end{align*} $ $

平面曲线弧长

  $[a,b]$区间内函数$y=f(x)$的长度为

$ $ \begin{align*} S=\int_{a}^{b}\mathrm{d}s = \int_{a}^{b} \sqrt[]{1+[f'(x)]^2}\mathrm{d}x \end{align*} $ $

当曲线由参数方程$\begin{cases}
x=\varphi(t) \\
y=\psi(t)
\end{cases}$（$\alpha \le t \le \beta$）给出时

$ $ \begin{align*} S=\int_{\alpha }^{\beta } \sqrt[]{[\varphi'(t)]^2+[\psi'(t)]^2}\mathrm{d}t \end{align*} $ $

当曲线由极坐标方程$r=r(\theta)$（$\alpha \le \theta \le \beta$）给出时

$ $ \begin{align*} S=\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt[]{[r(\theta)]^2 + [r'(\theta )]^2} \mathrm{d} \theta \end{align*} $ $

旋转体侧面积

  曲线$y=f(x)$与$x=a$、$x=b$及$x$轴围成的平面绕$x$轴旋转一周所得旋转体的侧面积为

$ $ \begin{align*} S=2\pi \int_{a}^{b} \left| y\right| \mathrm{d} s=2\pi \int_{a}^{b} \left| y\right| \sqrt[]{1+\left[ f'(x)\right]^2} \mathrm{d} x \end{align*} $ $

当曲线由参数方程$\begin{cases}
x=\varphi(t) \\
y=\psi(t)
\end{cases}$（$\alpha \le t \le \beta$）给出时

$ $ \begin{align*} S=2\pi \int_{\alpha }^{\beta} \left| \psi (t)\right| \sqrt[]{\left[ \varphi ' (t)\right]^2+\left[ \psi' (t)\right]^2} \mathrm{d} t \end{align*} $ $

当曲线由极坐标方程$r=r(\theta)$（$\alpha \le \theta \le \beta$）给出时

$ $ \begin{align*} S=2\pi \int_{\alpha }^{\beta} \left| r(\theta) \sin \theta \right| \sqrt[]{\left[ r(\theta )\right]^2+\left[ r'(\theta )\right]^2} \mathrm{d} \theta \end{align*} $ $

平面图形的形心坐标

  设平面区域$D=\left \{ (x,y)|0 \le y \le f(x), a \le x \le b \right \} $，$y=f(x)$在$[a,b]$上连续，则$D$的形心坐标$(\bar{x}, \bar{y})$的计算公式为

$ $ \begin{gather*} \bar{x} = \frac{\iint\limits_{D}x\mathrm{d}\sigma }{\iint\limits_{D}\mathrm{d}\sigma} =\frac{\int_{a}^{b} \mathrm{d} x\int_{0}^{f(x)} x\mathrm{d} y}{\int_{a}^{b} \mathrm{d} x\int_{0}^{f(x)} \mathrm{d} y} = \frac{\int_{a}^{b}xf(x) \mathrm{d} x}{\int_{a}^{b}f(x) \mathrm{d} x} \\ \bar{y} = \frac{\iint\limits_{D}y\mathrm{d}\sigma }{\iint\limits_{D}\mathrm{d}\sigma} =\frac{\int_{a}^{b} \mathrm{d} x\int_{0}^{f(x)} y\mathrm{d} y}{\int_{a}^{b} \mathrm{d} x\int_{0}^{f(x)} \mathrm{d} y} = \frac{\frac{1}{2}\int_{a}^{b}f^2(x) \mathrm{d} x}{\int_{a}^{b}f(x) \mathrm{d} x} \end{gather*} $ $

微分方程

可分离变量的微分方程

  如果一阶微分方程能写成$g(y)\mathrm{d}y=f(x)\mathrm{d}x$的形式，则称为可分离变量的微分方程

  例如$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 2xy^2$分离变量后得到$\frac{\mathrm{d}y}{y^2} = 2x\mathrm{d}x$，两边积分即得到通解

齐次微分方程

  如果一阶微分方程可化成$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \varphi(\frac{y}{x})$的形式，就称为齐次方程

$ $ \begin{gather*} (xy-y^2)\mathrm{d}x-(x^2-2xy)\mathrm{d}y=0\\ \Downarrow \\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{xy-y^2}{x^2-2xy} \\ \Downarrow \\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\frac{y}{x}-(\frac{y}{x})^2}{1-2(\frac{y}{x})} \end{gather*} $ $

  在齐次方程$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \varphi(\frac{y}{x})$中，令$u=\frac {y}{x}$，则$y=ux$，$y=ux$两边对$x$求导得$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} $，于是原齐次微分方程$\frac {\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$化为可分离变量的微分方程$u+x\frac {\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = \varphi (u)$

一阶线性微分方程

非齐次

  一阶非齐次线性微分方程

$ $ \begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x) \end{align*} $ $

  一阶非齐次线性微分方程的通解

$ $ \begin{align*} y=e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}[\int Q(x)e^{\int P(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C] \end{align*} $ $

也可写为$\eqref {eq1}$，题目未对$x_0$提出具体要求时，可以任取

$ $ \begin{align} \label {eq1} y=e^{-\int _{x_0}^{x}P(t)\mathrm{d}t}[\int _{x_0}^{x} Q(t)e^{\int _{x_0}^{t} P(s)\mathrm{d}s}\mathrm{d}t+C] \end{align} $ $

齐次

  一阶齐次线性微分方程

$ $ \begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=0 \end{align*} $ $

  一阶齐次线性微分方程的通解

$ $ \begin{align*} y=Ce^{-\int P(x)\mathrm{d}x} \; (C=\pm e^{C_1}) \end{align*} $ $

可降阶的高阶微分方程

$y^{(n)}=f(x)$型

  两边一直积分就行

$y’’=f(x,y’)$型

  方程中隐式包含$y$，若求通解，设$y’=p$ （$p=p(x)$），那么$y’’=\frac {\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=p’$，原方程可化为关于$x$、$p$的一阶微分方程$p’=f(x,p)$

$y’’=f(y,y’)$型

  方程中隐式包含$x$，若求通解，设$y’=p$ （$p=p(y)$），那么$y’’=\frac {\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} \cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=p\frac {\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}$，原方程可化为关于$y$、$p$的一阶微分方程$p\frac {\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}=f(y,p)$

高阶线性微分方程

性质

  二阶非齐次线性微分方程
$ $
\begin{align} \label {eq26}
y’’+P(x)y’+Q(x) = f(x)
\end{align}
$ $

  当$f(x) \equiv 0$时，有二阶齐次线性微分方程
$ $
\begin{align} \label {eq27}
y’’+P(x)y’+Q(x) = 0
\end{align}
$ $

性质1
  若$\varphi_1(x)$、$\varphi_2(x)$为齐次方程$\eqref {eq27}$的两个线性无关解，则$y=C_1 \varphi_1(x) + C_2 \varphi_2(x)$为齐次方程$\eqref {eq27}$的通解

性质2
  若$\varphi(x)$是非齐次方程$\eqref {eq26}$的一个特解，$\psi (x)$为齐次方程$\eqref {eq27}$的通解，则$y=\varphi(x)+\psi (x)$为非齐次方程$\eqref {eq26}$的通解

性质3
  若$\varphi_1(x)$、$\varphi_2(x)$为非齐次方程$\eqref {eq26}$的特解，则$y=\varphi_2(x)-\varphi_1(x)$为齐次方程$\eqref {eq27}$的解

性质4
  对于非齐次方程$\eqref {eq26}$，设以下两式成立
$ $
\begin{align} \label {eq28}
y’’+P(x)y’+Q(x) = f_1(x)
\end{align}
\begin{align} \label {eq29}
y’’+P(x)y’+Q(x) = f_2(x)
\end{align}
$ $
且$f(x)=f_1(x)+f_2(x)$，$\varphi_1(x)$、$\varphi_2(x)$分别为$\eqref {eq28}$、$\eqref {eq29}$的解，则$y=\varphi_1(x) + \varphi_2(x)$为非齐次方程$\eqref {eq26}$的解

常系数齐次线性微分方程

  形如$ \eqref {eq36} $称为常系数齐次线性微分方程，其中$p$、$q$为常数

$ $
\begin{align} \label {eq36}
y’’+py’+qy = 0
\end{align}
$ $

常系数齐次线性微分方程的通解

  根据$ \eqref {eq36} $列出特征方程，如一元二次方程$ \eqref {eq37} $
$ $
\begin{align}\label {eq37}
r^2+pr+q=0
\end{align}
$ $

  解方程$ \eqref {eq37} $，有如下三种情况

情况1：当$\Delta = p^2-4q \gt 0$时，特征方程$ \eqref {eq37} $有两个不相等的实数根$r_1,r_2$

$ $ \begin{align*} r_1 = \frac{-p+\sqrt{\Delta } }{2} \\ r_2 = \frac{-p-\sqrt{\Delta } }{2} \end{align*} $ $

  此时微分方程$ \eqref {eq36} $的通解是

$ $ \begin{align*} y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x} \end{align*} $ $

情况2：当$\Delta = p^2-4q=0$时，特征方程$ \eqref {eq37} $有两个相等的实数根$r_1=r_2 $

  此时微分方程$ \eqref {eq36} $的通解是

$ $ \begin{align*} y=(C_1+C_2x)e^{r_1x} \end{align*} $ $

情况3：当$\Delta = p^2-4q \lt 0$时，特征方程$ \eqref {eq37} $有一对共轭的复根$r_1,r_2$（$\alpha,\beta$均为实数,$\beta\ne0$），$i$为虚数，等于$\sqrt[]{-1} $

$ $ \begin{align*} r_1 = \frac{-b+\sqrt[]{\Delta } }{2} = \alpha +i\beta \\ r_2 = \frac{-b-\sqrt[]{\Delta } }{2} = \alpha - i\beta \end{align*} $ $

  此时微分方程$ \eqref {eq36} $的通解是

$ $ \begin{align*} y=e^{\alpha x}(C_1\cos {\beta x}+C_2\sin {\beta x}) \end{align*} $ $

n阶常系数齐次线性微分方程

有特征根，写微分方程解

若 $ r $ 为特征方程的单实根

$ $ \begin{align*} Ce^{rx} \text{为微分方程解} \end{align*} $ $

若 $ r $ 为特征方程的 $ k $ 重实根

$ $ \begin{align*} \left ( C_1 + C_2x+ C_3x^2 + \cdots + C_kx^{k-1} \right )e^{rx} \text{为微分方程的解} \end{align*} $ $

若 $ r=\alpha \pm \beta i $ 为特征方程的单共轭复根

$ $ \begin{align*} e^{\alpha x}(C_1\cos {\beta x}+C_2\sin {\beta x}) \text{为微分方程的解} \end{align*} $ $

若 $ r=\alpha \pm \beta i $ 为特征方程的二重共轭复根

$ $ \begin{align*} e^{\alpha x}[(C_1 + C_2x)\cos {\beta x}+(C_3 + C_4x)\sin {\beta x}] \text{为微分方程的解} \end{align*} $ $

有微分方程解，写特征根

如果微分方程的解中含 $ e^{rx} $

$ r $ 至少为特征方程的单实根

如果微分方程的解中含 $ x^{k-1}e^{rx} $

$ r $ 至少为特征方程的 $ k $ 重实根

如果微分方程的解中含 $ e^{\alpha x}\cos {\beta x} $ 或 $ e^{\alpha x}\sin {\beta x} $

$ r=\alpha \pm \beta i $ 至少为特征方程的单共轭复根

如果微分方程的解中含 $ xe^{\alpha x}\cos {\beta x} $ 或 $ xe^{\alpha x}\sin {\beta x} $

$ r=\alpha \pm \beta i $ 至少为特征方程的二重共轭复根

常系数非齐次线性微分方程

  形如$ \eqref {eq38} $称为常系数非齐次线性微分方程，其中$p$、$q$为常数

$ $ \begin{align} \label {eq38} y''+py'+qy = f(x) \end{align} $ $

常系数非齐次线性微分方程的特解

  形如如下两种形式的常系数非齐次线性微分方程可以使用待定系数法求特解

$ $ \begin{align} \label {eq39} f(x)=e^{\lambda x}P_m(x) \end{align} \begin{align} \label {eq40} f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)\cos (\omega x)+Q_n(x)\sin (\omega x)] \end{align} $ $

对于$\eqref {eq39}$型，其中$\lambda$是常数，$P_m(x)$是$x$的一个$m$次多项式

$ $ \begin{align*} P_m(x) = a_0x^m+a_1x^{m-1}+\cdots + a_{m-1}x+a_m \end{align*} $ $

特解的待定式为

$ $ \begin{align*} y_0(x) = x^k e^{\lambda x}R_m(x) \end{align*} $ $

对于$\eqref {eq40}$型，其中$\lambda$、$\omega$是常数，$\omega \ne 0$，$P_l(x)$、$Q_n(x)$分别是$x$的$l$次、$n$次多项式

$ $ \begin{gather*} P_l(x) = a_0x^l+a_1x^{l-1}+\cdots + a_{l-1}x+a_l \\ P_n(x) = a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots + a_{n-1}x+a_n \end{gather*} $ $

特解待定式为

$ $ \begin{align*} y_0(x) = x^ke^{\lambda x}[R_{m1}(x)\cos (\omega x)+R_{m2}\sin (\omega x)] \end{align*} $ $

待定系数法求通解

对于$\eqref {eq39}$型

  设有常系数非齐次线性微分方程$\eqref {eq41}$

$ $ \begin{align} \label {eq41} y''+py'+qy=e^{\lambda x}P_m(x) \end{align} $ $

若要求其通解，有以下四个步骤

步骤1：求$\eqref {eq41}$对应的齐次方程的通解

  令$y’’+py’+qy=0$，于是有特征方程

$ $ \begin{align} \label {eq42} r^2+pr+q=0 \end{align} $ $

假设解得不相等的实数根$r_1=\alpha$，$r_2=\beta$，则对应的齐次方程的通解为

$ $ \begin{align*} y_0=C_1e^{\alpha x}+C_2e^{\beta x} \end{align*} $ $

步骤2：得出$\eqref {eq41}$特解的待定式

  其特解待定式可拆解为三个部分

$ $ \begin{gather*} y_1(x) = x^k e^{\lambda x}R_m(x)\\ \Downarrow \\ y_1(x) = \underline{x^k_{}} \space \underline{e^{\lambda x}_{}} \space \underline{R_m(x)} \end{gather*} $ $

• 其中$k$的取值与原方程$\eqref {eq41}$中的$\lambda$及特征方程$\eqref {eq42}$的特征根$r_1$、$r_2$有关
  1. 当$\lambda = r_1$或$r_2$时，$k=1$
  2. 当$\lambda = r_1 = r_2$时，$k=2$
  3. 当$\lambda \ne r_1$且$\lambda \ne r_2$时，$k=0$

• 待定式中的$e^{\lambda x}$与$\eqref {eq41}$中的$e^{\lambda x}$完全一致，
  若$\eqref {eq41}$中不存在$e^{\lambda x}$，说明$\lambda = 0$

• $R_m(x)$是与$\eqref {eq41}$的多项式$P_m(x)$不同系数但相同次数的多项式待定式

  例： $ $ \begin{align*} &若P_m(x)=3x+1，则R_m(x)=ax+b；\\ &若P_m(x)=x^2+4，则R_m(x)=ax^2+bx+c \end{align*} $ $

  假设$P_m(x)$为$1$次多项式，$\lambda = r_1 = r_2$，那么$\eqref {eq41}$特解的待定式为

$ $ \begin{align*} y_1=x^2 e^{\lambda x} (ax+b) \end{align*} $ $

步骤3：待定系数法求$a$、$b$的值，得到$\eqref {eq41}$的特解

  根据$\eqref {eq41}$可知

$ $ \begin{align*} y_1''+py_1'+qy_1=e^{\lambda x}P_m(x) \end{align*} $ $

代入$y_1$、$y_1’$、$y_1’’$的待定式，由此可解出$a$、$b$的值，进而得到特解$y_1$

步骤4：求$\eqref {eq41}$的通解

  非齐次线性微分方程的通解=对应的齐次线性微分方程的通解+自身的一个特解，即

$ $ \begin{align*} y = y_0+y_1 \end{align*} $ $

对于$\eqref {eq40}$型

  设有常系数非齐次线性微分方程$\eqref {eq43}$

$ $ \begin{align} \label {eq43} y''+py'+qy=e^{\lambda x}[P_{l}(x)\cos(\omega x) + Q_{n}(x)\sin(\omega x)] \end{align} $ $

若要求其通解，有以下四个步骤

步骤1：求$\eqref {eq43}$对应的齐次方程的通解

  令$y’’+py’+qy=0$，于是有特征方程

$ $ \begin{align} \label {eq44} r^2+pr+q=0 \end{align} $ $

假设解得一对共轭的复根$r_1=\alpha + \beta i$，$r_2= \alpha - \beta i$，则对应的齐次方程的通解为

$ $ \begin{align*} y_0=e^{\alpha x}[C_1\cos(\beta x) + C_2\sin (\beta x)] \end{align*} $ $

步骤2：得出$\eqref {eq43}$特解的待定式

  其特解待定式可拆解为三个部分

$ $ \begin{gather*} y_1(x) = x^k e^{\lambda x} [R_{m1}\cos(\omega x) + R_{m2}\sin(\omega x)]\\ \Downarrow \\ y_1(x) = \underline{x^k_{}} \space \underline{e^{\lambda x}_{}} \space \underline{[R_{m1}\cos(\omega x) + R_{m2}\sin(\omega x)]} \end{gather*} $ $

• 其中$k$的取值与原方程$\eqref {eq43}$中的$\lambda$、$\omega$及特征方程$\eqref {eq44}$的特征根$r_1$、$r_2$有关（$i$为虚数，等于$\sqrt[]{-1} $）

  1. 当$\lambda + \omega i = r_1$或$r_2$时，$k=1$
  2. 当$\lambda + \omega i \ne r_1$且$\lambda + \omega i \ne r_2$时，$k=0$

• 待定式中的$e^{\lambda x}$与$\eqref {eq43}$中的$e^{\lambda x}$完全一致，

  若$\eqref {eq43}$中不存在$e^{\lambda x}$，说明$\lambda = 0$

• $R_{m1}(x)$与$R_{m2}(x)$是两个待定多项式，与$M_n(x)$不同系数但相同次数，$M_n(x)$与$P_l(x)$、$Q_n(x)$中次数较大的一个相同

  例： $ $ \begin{align*} &若P_l(x)=3x+1，Q_n(x)=5，\\ &则R_{m1}(x)=ax+b，R_{m2}(x)=cx+d；\\ &若P_l(x)=x^2+4，Q_n(x)=x+4，\\ &则R_{m1}=ax^2+bx+c，R_{m2}(x)=\xi x^2+ \eta x + \mu \end{align*} $ $

  假设$P_n(x)$、$Q_l(x)$均为$1$次多项式，$\lambda + \omega i = r_1$，那么$\eqref {eq43}$特解的待定式为

$ $ \begin{align*} y_1=x e^{\lambda x} [(ax+b)\cos(\omega x) + (cx+d)\sin(\omega x)] \end{align*} $ $

步骤3：待定系数法求$a$、$b$、$c$、$d$的值，得到$\eqref {eq43}$的特解

  根据$\eqref {eq43}$可知

$ $ \begin{align*} y_1''+py_1'+qy_1=e^{\lambda x}[P_{l}(x)\cos(\omega x) + Q_{n}(x)\sin(\omega x)] \end{align*} $ $

代入$y_1$、$y_1’$、$y_1’’$的待定式，由此可解出$a$、$b$的值，进而得到特解$y_1$

步骤4：求$\eqref {eq43}$的通解

  非齐次线性微分方程的通解=对应的齐次线性微分方程的通解+自身的一个特解，即

$ $ \begin{align*} y = y_0+y_1 \end{align*} $ $

数学常用公式定理1数学常用公式定理3数学常用公式定理4数学常用公式定理5数学常用公式定理6