数学常用公式定理1
三角函数
基本关系
- $ \sec A = \frac{1}{\cos A} $
- $ \csc A = \frac{1}{\sin A} $
- $ \cot A = \frac{1}{\tan A} $
- $ \sin ^{2}A + \cos ^{2}A = 1 $
- $ \tan ^{2}A + 1 = \sec ^{2}A $
- $ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} $
- $ \cos 2A = \cos ^{2} A - \sin ^{2} A = 1 - 2\sin ^{2} A = 2\cos ^{2} A - 1 $
- $ \sin 2A = 2\sin A \times \cos A $
- $ \csc ^{2} A = \frac{1}{\sin ^{2} A} = \frac{\cos ^{2} A + \sin ^{2} A}{\sin ^{2} A} = \frac{\cos ^{2} A}{\sin ^{2} A} + 1 = \cot ^{2}A + 1 $
- $ \cos (\alpha \pm \beta ) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta $
- $ \sin (\alpha \pm \beta ) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta $
基本属性
| 正弦函数 | 余弦函数 | 正切函数 | 余切函数 | |
|---|---|---|---|---|
| 定义域 | $R$ | $R$ | $x$不等于$k\pi + \frac{\pi}{2} $ | 不等于$k\pi $ |
| 值域 | $[-1,1]$ | $[-1,1]$ | $R$ | $R$ |
| 奇偶性 | 奇函数 | 偶函数 | 奇函数 | 奇函数 |
| 单调性 | 单调递增 | 单调递减 | ||
| 周期 | $2\pi$ | $2\pi$ | $\pi$ | $\pi$ |
| $x=0$时 | $0$ | $1$ | $0$ | 无意义 |
| $x=\frac{\pi}{6}时$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt {3}}{2}$ | $\frac{\sqrt {3}}{3}$ | $\sqrt {3}$ |
| $x=\frac{\pi}{4}时$ | $\frac{\sqrt {2}}{2}$ | $\frac{\sqrt {2}}{2}$ | $1$ | $1$ |
| $x=\frac{\pi}{3}时$ | $\frac{\sqrt {3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt {3}$ | $\frac{\sqrt {3}}{3}$ |
| $x=\frac{\pi}{2}时$ | $1$ | $0$ | 无意义 | $0$ |
| $x=\pi$时 | $0$ | $-1$ | $0$ | 无意义 |
| 图像 |  |  |  |  |
和差化积公式
- $\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin \frac{\alpha + \beta }{2} \cos \frac{\alpha - \beta }{2} $
- $\sin \alpha - \sin \beta = 2\cos \frac{\alpha + \beta }{2} \sin \frac{\alpha - \beta }{2} $
- $\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos \frac{\alpha + \beta }{2} \cos \frac{\alpha - \beta }{2} $
- $\cos \alpha - \cos \beta = -2\sin \frac{\alpha + \beta }{2} \sin \frac{\alpha - \beta }{2} $
- $\tan \alpha + \tan \beta = \frac{\sin \left ( \alpha + \beta \right )}{\cos \alpha \cos \beta } $
- $\tan \alpha - \tan \beta = \frac{\sin \left ( \alpha - \beta \right )}{\cos \alpha \cos \beta } $
- $\cot \alpha + \cot \beta = \frac{\sin \left ( \alpha + \beta \right )}{\sin \alpha \sin \beta } $
- $\cot \alpha - \cot \beta = -\frac{\sin \left ( \alpha - \beta \right )}{\sin \alpha \sin \beta } $
- $\tan \alpha + \cot \beta = \frac{\cos \left ( \alpha - \beta \right )}{\cos \alpha \sin \beta } $
- $\tan \alpha - \cot \beta = -\frac{\cos \left ( \alpha + \beta \right )}{\cos \alpha \sin \beta } $
积化和差公式
- $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left [ \sin (\alpha + \beta ) + \sin (\alpha - \beta ) \right]$
- $\cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left [ \sin (\alpha + \beta ) - \sin (\alpha - \beta ) \right]$
- $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left [ \cos (\alpha + \beta ) + \cos (\alpha - \beta ) \right]$
- $\sin \alpha \sin \beta = -\frac{1}{2} \left [ \cos (\alpha + \beta ) - \cos (\alpha - \beta ) \right]$
辅助角公式
- $a \sin x+b \cos x=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \sin \left(x+\arctan \frac{b}{a}\right)$
- $a \sin x+b \cos x=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \cos \left(x-\arctan \frac{a}{b}\right)$
反三角函数
| 反正弦函数 | 反余弦函数 | 反正切函数 | 反余切函数 | |
|---|---|---|---|---|
| 函数式 | $y = \arcsin X$ | $y = \arccos X$ | $y = \arctan X$ | $y = \operatorname{arccot} X$ |
| 定义域 | $[-1,1]$ | $[-1,1]$ | $R$ | $R$ |
| 值域 | $[-\frac{\pi }{2} ,\frac{\pi }{2} ]$ | $[0,\pi]$ | $(-\frac{\pi }{2} ,\frac{\pi }{2} )$ | $(0,\pi)$ |
| 奇偶性 | 奇函数 | 非奇非偶 | 奇函数 | 非奇非偶 |
| 图像 |  |  |  |  |
对数公式
对数恒等式
对数第一恒等式
对数第二恒等式
对数推导公式
- $ \log_{a}{(MN)} = \log_{a}{M} + \log_{a}{N} $
- $ \log_{a}{\frac{M}{N} } = \log_{a}{M} - \log_{a}{N} $
- $ \log_{a}{M ^{n} } = n\log_{a}{M} $
- $ \log_{a ^{n}}{M} = \frac{1}{n} \log_{a}{M} $
- $ \frac{\log_{c}{b} }{\log_{c}{a} } = \log_{a}{b} $
- $ \log_{a}{b} = \frac{1}{\log_{b}{a}} $
- $ a^{x} = e^{x\ln_{}{a} } $
极限公式
定理与性质
极限存在定理
函数$f(x)$当$x \to x_0$时极限存在的充分必要条件是左极限和右极限各自存在且相等，即
因此，即使左右极限都存在，但若不相等，则$\lim_{x \to x_0}f(x)$也不存在
单调有界定理
单调有界数列必有极限，如果一个数列单调递增且有上界，或单调递减且有下界，则该数列收敛
零点定理
设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)$与$f(b)$异号，则在开区间$(a,b)$内至少有一点$\xi$，使$f(\xi)=0$
介值定理
函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且在区间的端点处取不同的函数值，$f(a)=A$及$f(b)=B$，则对于$A$与$B$之间的任意一个数$C$，在开区间$(a,b)$内至少有一点$\xi$，使得$f(\xi)=C \space (a \lt \xi \lt b)$
极限唯一性
如果$\lim_{x \to x_0}f(x)$存在，那么这极限唯一
局部有界性
如果$\lim_{x \to x_0}f(x)=A$，那么存在常数$M \gt 0$和$\delta \gt 0$，使得当$0 \lt |x-x_0| \lt \delta$时，有$|f(x)| \le M$
局部保号性
如果$\lim_{x \to x_0}f(x)=A$，且$A \gt 0$（或$A \lt 0$），那么存在常数$\delta \gt 0$，使得当$0 \lt |x-x_0| \lt \delta$时，有$f(x) \gt 0$（或$f(x) \lt 0$）
极限运算法则
- 两个无穷小之和是无穷小
- 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
- 如果$\lim f(x)=A$，$\lim g(x)=B$，那么
- $\lim[f(x) \pm g(x)] = \lim f(x) \pm \lim g(x) = A\pm B$
- $\lim[f(x) \times g(x)] = \lim f(x) \times \lim g(x) = A\times B$
- 若$B\ne 0$，则$\lim \frac {f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}= \frac {A}{B}$
- 若$\lim f(x)$存在，$n$为正整数，则$\lim [f(x)]^n = [ \lim f(x) ]^n$
- 如果$\varphi (x) \ge \psi (x)$，$\lim \varphi (x)=A$，$\lim \psi (x)=B$，那么$A \ge B$
- 设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与$y=f(u)$复合而成，$f[g(x)]$在点$x_0$某去心邻域内有定义，若$\lim_{x \to x_0}g(x)=u_0$，$\lim_{u \to u_0}f(u)=A$，且存在$\delta_0 \gt 0$，当$x \in \stackrel {\circ}{U} (x_0, \delta_0 )$时，有$g(x) \ne u_0$，则
- $\lim_{x \to x_0} f[g(x)] = \lim_{x \to u_0} f(u) = A$
极限存在准则
准则一（夹逼准则）
如果函数$g(x)$、$f(x)$、$h(x)$满足以下条件：
- 当$x \in \stackrel {\circ}{U}(x_0,r)$（或$|x|\gt M$）时，$g(x)\le f(x) \le h(x)$
- $\lim _{x \to x_0} g(x) = A$，$\lim _{x \to x_0} h(x) = A$，
那么$\lim _{x \to x_0} f(x)$的极限存在，且等于$A$
准则二
单调有界数列必有极限
无穷小比较
如果$\lim \frac{\beta}{\alpha} = 0$，那么就说$\beta$是比$\alpha$高阶的无穷小，记作$\beta = o(\alpha)$
如果$\lim \frac{\beta}{\alpha} = \infty$，那么就说$\beta$是比$\alpha$低阶的无穷小
如果$\lim \frac{\beta}{\alpha} = c \ne 0$，那么就说$\beta$与$\alpha$是同阶无穷小
如果$\lim \frac{\beta}{\alpha^k} = c \ne 0,k \gt 0$，那么就说$\beta$是关于$\alpha$的$k$阶无穷小
如果$\lim \frac{\beta}{\alpha} = 1$，那么就说$\beta$与$\alpha$是等阶无穷小，记作$\beta \sim \alpha$
函数连续性
设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某一邻域内有定义，如果
那么就称函数$f(x)$在点$x_0$连续
两个重要极限
第一类重要极限$ \eqref {eq3} $
第二类重要极限$ \eqref {eq4} $
由$ \eqref {eq4} $推导$ \eqref {eq5} $
常见等价无穷小
(当$ x\longrightarrow 0 $时)
- $ \sin x \sim x $
- $ \tan x \sim x $
- $ \arcsin x \sim x $
- $ \arctan x \sim x $
- $ e^{x} - 1 \sim x $
- $ a^{x} - 1 \sim x\ln_{}{a} (a>0,a≠1) $
- $ \ln_{}{(1+x)} \sim x $
- $ \log_{}{(1+x)} \sim \frac{1}{\ln_{}{a}} x (a>0,a≠1) $
- $ \ln_{}{(x+\sqrt[]{1+x^2} )}\sim x $
- $ (1+x)^{a} -1 \sim ax $
- $ \sqrt[n]{1+x} -1 \sim \frac{1}{n} x $
- $ x-\sin x\sim \frac{1}{6} x^3 $
- $ \tan x-x\sim \frac{1}{3} x^3 $
- $ \tan x-\sin x\sim \frac{1}{2} x^3 $
- $ 1 - \cos x \sim \frac{1}{2} x^{2} $
- $ x-\arctan x \sim \frac{1}{3} x^3 $
- $ x-\arcsin x \sim -\frac{1}{6} x^3 $
- $ x-\sin x \sim \frac{1}{6} x^3 $
渐近线
垂直渐近线
若$\lim_{x \to a^+} f(x)=\infty$或$\lim_{x \to a^-} f(x)=\infty$，
则称$x=a$为曲线$y=f(x)$的垂直渐近线
水平渐近线
若$\lim_{x \to +\infty} f(x)=b$或$\lim_{x \to -\infty} f(x)=b$，
则称$y=b$为曲线$y=f(x)$的水平渐近线
斜渐近线
若$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}=a \space (a\ne 0)$，$\lim_{x \to +\infty} \left[f(x)-ax\right]=b$，
或$\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x}=a \space (a\ne 0)$，$\lim_{x \to -\infty} \left[f(x)-ax\right]=b$，
则称$y=ax+b$为曲线$y=f(x)$的斜渐近线
极值与最值
函数单调性判定
定理1
设函数$y=f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导
- 如果在$(a,b)$内$f’(x) \ge 0$，那么函数$y=f(x)$在$[a,b]$上单调增加
- 如果在$(a,b)$内$f’(x) \le 0$，那么函数$y=f(x)$在$[a,b]$上单调减少
定理2
设函数$y=f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内具有一阶和二阶导数，那么
- 若在$(a,b)$内$f’’(x) \gt 0$，则$f(x)$在$[a,b]$上的图形是凹的
- 若在$(a,b)$内$f’’(x) \lt 0$，则$f(x)$在$[a,b]$上的图形是凸的
极值与最值
定理1
设函数$f(x)$在$x_0$处可导，且在$x_0$处取得极值，则$f’(x_0)=0$
定理2
设函数$f(x)$在$x_0$处连续，且在$x_0$的某去心邻域$\stackrel {\circ}{U} (x_0, \delta )$内可导
- 若$x \in (x_0-\delta ,x_0)$时，$f’(x) \gt 0$，$x \in (x_0 ,x_0+\delta)$时，$f’(x) \lt 0$，则$f(x)$在$x_0$处取得极大值
- 若$x \in (x_0-\delta ,x_0)$时，$f’(x) \lt 0$，$x \in (x_0 ,x_0+\delta)$时，$f’(x) \gt 0$，则$f(x)$在$x_0$处取得极小值
- 若$x \in \stackrel {\circ}{U} (x_0, \delta )$时，$f’(x)$的符号保持不变，则$f(x)$在$x_0$处没有极值
定理3
设函数$f(x)$在$x_0$处具有二阶导数，且$f’(x_0) = 0$，$f’’(x_0) \ne 0$，则
- 当$f’’(x_0) \lt 0$时，函数$f(x)$在$x_0$处取得极大值
- 当$f’’(x_0) \gt 0$时，函数$f(x)$在$x_0$处取得极小值
拐点的判别
拐点定义
连续曲线的凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点
必要条件
设$f’’(x_0)$存在，且点$(x_0, f(x_0))$为曲线的拐点，则$f’’(x_0) = 0$
第一充分条件
设$f(x)$在点$x=x_0$处连续，在点$x=x_0$的某去心邻域内二阶可导，且在该店的左右邻域内$f’’(x)$变号，则点$(x_0, f(x_0))$为曲线的拐点
第二充分条件
设$f(x)$在点$x=x_0$的某邻域内三阶可导，且$f’’(x_0) = 0$，$f’’’(x_0) \ne 0$，则点$(x_0, f(x_0))$为曲线的拐点
第三充分条件
设$f(x)$在$x_0$处$n(n \ge 2)$阶可导，且$f^{(n)}(x_0) = 0$，$f^{(n+1)}(x_0) \ne 0$，则当$n$为偶数时，点$(x_0, f(x_0))$为曲线的拐点
导数公式
导数表达式结构
- $f’(x_{0} ) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0} )}{\Delta x} $
- $f’(x_{0} ) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_{0} + h) - f(x_{0} )}{h} (h = \Delta x)$
- $f’(x_{0} ) = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x) - f(x_{0} )}{x-x_{0}} (x = x_{0} + \Delta x)$
导数基本公式
- $ C’ = 0(C为常数) $
- $ (x ^{n})’ = nx^{n-1}(n为实数) $
- $ (\log_{a}{x})’ = \frac{1}{x\ln_{}{a}} (a>0,a≠1) $
- $ (\ln_{}{x})’ = \frac{1}{x} $
- $ (a ^{x})’ = a^{x}\ln_{}{a}(a>0,a≠1) $
- $ (e^{x})’ = e^{x} $
- $ (\sin {x})’ = \cos {x} $
- $ (\cos {x})’ = -\sin {x} $
- $ (\tan {x})’ = \frac {1}{\cos ^2 {x}} = \sec ^2 {x} $
- $ (\cot {x})’ = -\frac{1}{\sin ^2 {x}} = -\csc ^2 {x} $
- $ (\sec {x})’ = \sec {x} \tan {x} $
- $ (\csc {x})’ = -\csc {x} \cot {x} $
- $ (\arcsin {x})’ = \frac {1}{\sqrt{1- x^2}} $
- $ (\arccos {x})’ = -\frac {1}{\sqrt{1- x^2}} $
- $ (\arctan {x})’ = \frac {1}{1+x^2} $
- $ (\operatorname{arccot} x)’ = -\frac {1}{1+x^2} $
- $ \left [\ln (x+\sqrt[]{x^2+a} )\right ]’=\frac{1}{\sqrt[]{x^2+a} } $
导数四则运算法则
设$u=u(x)$，$v=v(x)$都可导
- $ [u(x) \pm v(x)]’ = u’(x) \pm v’(x) $
- $ [u(x)v(x)]’ = u’(x)v(x) + u(x)v’(x) $
- $ [Cu(x)]’ = Cu’(x)(C为常数) $
- $ [\frac {u(x)}{v(x)}]’ = \frac {u’(x)v(x) - u(x)v’(x)}{v^2(x)}(v(x)≠0) $
- $ [\frac {C}{v(x)}]’ = -\frac {Cv’(x)}{v^2(x)}(v(x)≠0,C为常数) $
反函数求导法则
设$y=f(x)$在区间$I_x$内单调、可导且$f’(x) \ne 0$，则它的反函数$x=f^{-1}(y)$在$I_y=f(I_x)$内也可导，且
因为
二阶导
复合函数的求导法则
设$y=f(u),u=g(x)$，且$f(u),g(x)$都可导，则复合函数$y=f[g(x)]$的导数为
常用n阶导数公式
- $ \left(\mathrm{e}^{a x+b}\right)^{(n)}=a^{n} \mathrm{e}^{a x+b} $
- $ {[\sin (a x+b)]^{(n)}=a^{n} \sin \left(a x+b+\frac{n \pi}{2}\right)} $
- $ {[\cos (a x+b)]^{(n)}=a^{n} \cos \left(a x+b+\frac{n \pi}{2}\right)} $
- $ {[\ln (a x+b)]^{(n)}=(-1)^{n-1} a^{n} \frac{(n-1)!}{(a x+b)^{n}}} $
- $ \left(\frac{1}{a x+b}\right)^{(n)}=(-1)^{n} a^{n} \frac{n!}{(a x+b)^{n+1}} $
莱布尼兹公式
设 $u=u(x)$ ， $v=v(x)$ 均 $n$ 阶可导，则
切线与法线方程
函数$f(x)$在点$(x_{0},f(x_{0}))$处的切线与法线方程
- 若$f’(x_{0})≠0$且$f’(x_0)≠\infty $，
切线方程为：$y-f(x_0) = f’(x_0)(x-x_0)$，
法线方程为：$y-f(x_0) = -\frac{1}{f’(x_0)}(x-x_0)$； - 若$f’(x_{0})=0$，
切线方程为：$y=f(x_0)$，
法线方程为：$x=x_0$； - 若$f’(x_{0})=\infty$，
切线方程为：$x=x_0$，
法线方程为：$y=f(x_0)$
隐函数的导数
对隐函数的等号两边同时求导，不赘述
参数方程的导数
若参数方程$\begin{cases}
x=\varphi (t)\\
y=\psi (t)
\end{cases}$确定$y$与$x$间的函数关系，假设$\varphi (t)$、$\psi (t)$都可导，且$\varphi’(t) \ne 0$，于是有
二阶导
微分公式
微分基本公式
- $ \mathrm{d}C = 0(C为常数) $
- $ \mathrm{d}(x ^{n}) = nx^{n-1}\mathrm{d}x(n为实数) $
- $ \mathrm{d}(\log_{a}{x}) = \frac{1}{x\ln_{}{a}}\mathrm{d}x (a>0,a≠1) $
- $ \mathrm{d}(\ln_{}{x}) = \frac{1}{x}\mathrm{d}x $
- $ \mathrm{d}(a ^{x}) = a^{x}\ln_{}{a}\mathrm{d}x(a>0,a≠1) $
- $ \mathrm{d}(e^{x}) = e^{x}\mathrm{d}x $
- $ \mathrm{d}(\sin {x}) = \cos {x}\mathrm{d}x $
- $ \mathrm{d}(\cos {x}) = \sin {x}\mathrm{d}x $
- $ \mathrm{d}(\tan {x}) = \frac {1}{\cos ^2 {x}}\mathrm{d}x = \sec ^2 {x}\mathrm{d}x $
- $ \mathrm{d}(\cot {x}) = -\frac{1}{\sin ^2 {x}}\mathrm{d}x = -\csc ^2 {x}\mathrm{d}x $
- $ \mathrm{d}(\sec {x}) = \sec {x} \tan {x}\mathrm{d}x $
- $ \mathrm{d}(\csc {x}) = -\csc {x} \cot {x}\mathrm{d}x $
- $ \mathrm{d}(\arcsin {x}) = \frac {1}{\sqrt{1- x^2}}\mathrm{d}x $
- $ \mathrm{d}(\arccos {x}) = -\frac {1}{\sqrt{1- x^2}}\mathrm{d}x $
- $ \mathrm{d}(\arctan {x}) = \frac {1}{1+x^2}\mathrm{d}x $
- $ \mathrm{d}(\operatorname{arccot} x) = -\frac {1}{1+x^2}\mathrm{d}x $
微分四则运算法则
设$u = u(v)$、$v = v(x)$可微，则
微分中值定理
费马定理
设 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处满足 $\left\{\begin{array}{l}
\text { 可导, } \\
\text { 取极值, }
\end{array} \right.$ 则 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$
罗尔定理
如果函数$f(x)$满足
- 在闭区间$[a,b]$上连续；
- 在开区间$(a,b)$内可导；
- 在区间端点处的函数值相等，即$f(a)=f(b)$；
那么在$(a,b)$内至少有一点$\xi \;(a\lt \xi \le b)$，使得$f’(\xi)=0$
推广的罗尔定理：
设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内可导， $\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=A$ ，则在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使 $f^{\prime}(\xi)=0$ ，其中区间 $(a, b)$ 可以是有限区间也可以是无穷区间， $A$ 可以是有限数也可以是无穷大
拉格朗日中值定理
如果函数$f(x)$满足
- 在闭区间$[a,b]$上连续；
- 在开区间$(a,b)$内可导；
那么在$(a,b)$内至少有一点$ \xi \; (a \lt \xi \le b)$，使等式$\eqref {eq8}$成立
柯西中值定理
如果函数$f(x)$及$F(x)$满足
- 在闭区间$[a,b]$上连续；
- 在开区间$(a,b)$内可导；
- 对任一$ x\in (a,b) $，$F’(x)\ne 0$；
那么在$(a,b)$内至少有一点$\xi$，使等式$\eqref {eq9}$成立
弧微分与曲率
弧微分公式
在直角坐标系中
在参数方程 $\begin{cases}
x=\varphi(t) \\
y=\psi(t)
\end{cases}$ 中
曲率公式
泰勒公式
泰勒公式
佩亚诺余项
当$\eqref {eq10}$中$R_n(x)$的表达式为$\eqref {eq11}$时，称为佩亚诺余项，近似表达$n$次泰勒多项式产生的误差
拉格朗日余项
当$\eqref {eq10}$中$R_n(x)$的表达式为$\eqref {eq12}$时，称为拉格朗日余项，拉格朗日余项能够具体估算出误差的大小，其中$\xi$是$x_0$与$x$之间的某个值
误差估计式
麦克劳林公式
在$\eqref {eq10}$中，如果取$x_0=0$，那么有麦克劳林公式
佩亚诺余项
当$\eqref {eq14}$中$R_n(x)$的表达式为$\eqref {eq15}$时，称为佩亚诺余项
拉格朗日余项
麦克劳林公式$\eqref {eq14}$由泰勒公式$\eqref {eq10}$取$x_0=0$得到，那么泰勒公式拉格朗日余项$\eqref {eq12}$中$\xi$在$0$与$x$之间，因此可以令$\xi=\theta x\space(x < \theta < 1)$，从而有麦克劳林拉格朗日余项
相应的，误差估计式变成
常用泰勒公式
- $e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)$
- $\ln (1+x)= \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+o(x^4)$
- $\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n = 1-x+x^2-x^3+o(x^3)$
- $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty}x^n = 1+x+x^2+x^3+o(x^3)$
- $\sin x = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x-\frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + o(x^{5})$
- $\cos x = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + o(x^{4})$
- $\tan x = x + \frac{2}{3!} x^3 + \frac{16}{5!} x^5+o(x^5)$
- $\arcsin x = x + \frac{1}{3!}x^3 + \frac{9}{5!}x^5 + o(x^5)$
- $\arctan x = x-\frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + o(x^5)$
- $(1+x)^a = 1 + ax + \frac{a(a - 1)}{2!} x^2 + \frac{a(a-1)(a-2)}{3!} x^3 + o(x^3)$